窄带随机噪声作用下强非线性系统的响应

　　迄今,非线性系统随机振动的绝大部分成果都属于对随机宽带激励的响应。然而实际中很多情形下激励是窄带随机过程,研究非线性系统对窄带随机激励的响应具有重要的理论与实际意义。对于单自由度非线性系统在随机窄带噪声激励下的响应问题,已有一些研究[1～6]。以上这些研究一般在随机激励项前有小参数,即限制随机激励是小激励。对于一般的非线性系统在一般的窄带噪声激励(不要求是小激励)下系统的响应问题,则基本上未见研究。本文将在这方面作一些探讨。研究了Van der Pol-Duffing振子在窄带随机噪声激励下的响应问题。用参数变换法使方程出现小参数,用多尺度法分离了系统快变项,讨论了系统的阻尼项、非线性项和随机项等参数对系统响应的影响。数值模拟表明本文提出的方法是有效的。

　　1　模型的提出

　　考虑受到随机噪声激励的Van der Pol-Duffing振子

　　式中　u上方的圆点表示对时间t的导数,ε->0为参数,文中ε-并不要求为小参数。β为系统的阻尼系数,α1,α2代表系统的非线性强度,ξ(t)是随机噪声项

　　式中　h>0为随机激励的强度,Ω为随机激励的中心频率,W(t)为标准Wiener过程,γ≥0为随机激励的带宽。

　　由Wedig可知[7],当γ较小时ξ(t)为窄带噪声,当ε- 1为小参数时,类似的模型由Rajan和Davies[4],Nayfeh和Serhan[5],以及作者用多尺度法进行过讨论[6]。但当ε-不是小参数时,模型(1)即成为一强非线性系统在窄带随机激励下的模型,对此问题尚未见到研究。

　　2　改进的多尺度法

　　多尺度法近些年来在随机系统中也有一些应用。对随机外激的情形,Rajan和Davies,Nayfeh和Serhan用多尺度法研究了非线性的响应[4～5];作者则将多尺度法推广到非线性系统的随机参激情形[6]。由于ε-不一定是小参数,多尺度法不能直接应用于系统(1)。作者用研究确定性的强非线性系统的参数变换法进行讨论[8]。首先定义一个新的时间刻度T=Ωt,则系统(1)可改写为

　　式中　u上方的圆点表示对T的导数。先不妨设当γ=0时系统(1)具有稳态响应,且其主谐波的振幅为u0。定义一个新的展开参数这样对所有ε-u20,都有ε且当ε-u20→0时,有ε→0。即不论ε-是否为小参数,ε可看作为小参数。引入调谐参数将以上各式代入式(3)可得

　　由于ε为小参数,可对式(5)用多尺度法。设系统(5)具有如下形式的解

　　式中表示前述各项的共轭,a,φ分别是随时间缓变的系统响应的振幅和相角。a′表示a关于T1的导数。消除式(8)右端的奇异项可得

　　3　稳态解及其稳定性

　　首先讨论当γ=0即没有随机扰动时系统(9)的稳态响应。此时系统(9)可改写为