一类双线性系统受零均值平稳高斯白噪声激励时的FPK解

    0　引　言

    双线性恢复力是工程中最为常见的非线性恢复力模型之一。当具有这种恢复力的非线性系统受到随机动荷载作用时,就构成了非线性随机振动问题;求解这种非线性系统的FPK解对于研究其非线性随机振动是十分重要的。PISZCZEK K等[1]曾给出过这种非线性系统的FPK解,但本文作者分析后发现PISZCZEKK等给出的解似有值得商榷之处。因此,本文在文献[1]的基础上进一步分析研究了具有对称双线性恢复力的非线性系统受零均值平稳高斯白噪声激励时的FPK解,给出了解的较为一般的形式;通过比较的结果看出,本文给出的解是合理的。

　　图1是双线性恢复力模型中比较特殊的一种,与图1所示的双线性恢复力模型相对应的结构装置可以抽象为如图2所示的单自由度振子[2]。具有这种恢复力的非线性系统在工程中也是十分常见的,因此给出这种系统的FPK解也是十分必要和有实用价值的。但是到目前为止,本文作者尚未见到关于这种特殊的双线性系统的FPK解。本文在推导出一般对称双线性系统的FPK解的基础上,给出了这种系统的FPK解;并通过算例计算,发现了一些有趣的现象。

    1　FPK方程[3,4]

    根据FPK方法,一个马尔柯夫过程的条件概率密度函数pc(x | y,t)应满足如下的FPK方程:

其中,(i,j=1,2,…,N)。在这里,y是N维相空间中一点的位置向量,积分对整个相空间进行。

    由方程(1)解得pc(x | y,t)后,可以求得随机过程向量在任意时刻的概率密度函数并进而求出各分量的统计值,这样求出的解被称为精确瞬态解。事实上,能求出精确瞬态解的系统是很少的。在某些问题中,随着时间的流逝,条件概率pc(x | y,t)可能刚好趋于一个有限平稳概率密度p(y),简单地说,就是概率密度不再依赖于时间和初始条件。p(y)的一个解如果存在的话,那么它可以通过在上述FPK方程中令t^→∞,以及将写成=0而求出。这时,关于p(y)的方程为

由此求出的解被称为平稳解。

    2　具有对称双线性恢复力的非线性系统的FPK解

    为简单起见,考虑由下列微分方程描述的一个单自由度非线性系统

式中,x是系统的位移;β是阻尼因子;激励f(t)是具有零均值的平稳高斯白噪声随机过程,即

    E[f(t)] =0;R_f(τ) = (W₀/2)δ(τ)            (7)

W₀为常数,是激励的白噪声功率谱密度,δ(τ)是Dirac-delta函数;F(x)是对称双线性恢复力,本文采用下式的数学模型表达:

式中,x0是两个线性段的分界点,μ2由下式给出:

ω²0、ω²1分别是两个线性段的斜率,其中ω0也是对应线性系统的无阻尼固有频率。(8)式基本上概括了双线性恢复力的一般形式,如图3、图4所示。