流体力学反问题的类型及其应用

　　1　引言

　　随着人们对自然现象的深入研究与理解,可 以对某些自然现象作出精确的预测。但是,科学的 发展使人们不再满足于对自然现象的被动预测, 而试图对自然现象实现主动的控制,使系统按照 指定的方式运行,从而达到预期的目的。

　　如果将系统描述为由控制方程和相应的初始 条件、边界条件构成数学上的适定问题,求解这一 问题得到因变量在空间的分布和随时间演化的规 律,实现对因变量的预测,这便是正问题。如果将 正问题的某种必须已知的确定因素变为未知的待 求解的变量,而将正问题的求解目标、未知的因变 量的一部分或全部作为已知的、必须满足的条件, 就构成了某类反问题。正问题的实质是实现对系 统的预测,反问题的实质则是实现对系统的控制。 反问题的提出起于求解自然科学和工程技术 各领域中待定未知数的需要。但是,反问题作为一 个新的研究方向,在绝大多数学科领域尚处于起 步阶段。由于反问题的非适定性、非线性性,其求 解较正问题困难得多。

　　在流体力学中,依据质量守恒、牛顿第二定律 和能量守恒等基本原理,建立起了反映流体流动 的基本方程组。这些方程组包括:连续方程、动量 方程、雷诺方程、浓度传输方程、热传输方程等,这 些微分方程的通用形式可写为:

　　式中,ρ为流体的密度,uj为j方向的速度分量,ΓΦ为扩散系数,SΦ为源项。

　　对应于特定意义的Φ,ΓΦ和SΦ,方程具有特 定的形式,当给出适当的初始条件和边界条件,便 可求解这一方程,这便是正问题。

　　对于这一方程,求解正问题必须已知的确定 因素为:控制方程中各项的形式及其系数(参数), 区域及其边界形状,边界条件的类型和参数以及 初始条件。与此相应,对于这一微分方程控制的系 统,反问题可以分为参数控制反问题、源项控制反 问题、边界条件控制反问题、初始条件控制反问题 和形状控制反问题等五类。在流体力学中,除去偏 微分方程控制的系统以外,还有常微分方程以及 一些代数方程形式的经验公式控制的系统,对于 这些系统,也可提出相应的反问题。

　　2　参数控制反问题

　　这一反问题可描述为:由控制方程和Φ在区 域和边界上的部分或完整信息来确定方程的某个 或全部系数。控制方程中的系数通常表示介质的 某种性质,因而这一类反问题的目标通常是推求 介质的特性参数,从而推求介质的种类。 例:圆棒的一维非恒定热传导问题(图1)。 其控制方程为热传导方程、方程的系数为热 传导系数。