液固撞击的非线性波动模型的研究

    液滴撞击造成固体表面材料侵蚀破坏的问题由来已久[1,2].在液滴侵蚀的过程中,首先发生的是液固撞击过程.目前,分析液固撞击的主要手段有理论计算、实验研究以及数值模拟.由于物理问题的复杂性,实验及理论计算的难度较大.在数值模拟方面,以往研究者采用的模型主要是基于波动方程的精确解和一维激波运动方程.由于这种模型比较粗糙,用以研究液固撞击过程会产生很大的误差.因此,必须建立更加合理准确的液固撞击模型,为解决材料侵蚀问题提供可靠的依据.

    1　非线性波动模型的建立

    文献[3]的研究表明,在比较广泛的液固撞击速度(30~300 m/s)下,在激波脱体以前,液滴的宏观形变量很微小,不到体积的1%.所以,在激波脱体以前发生在液滴内部的物理现象主要是一个宏观流动不显著的声学过程,而撞击的峰值压力(影响液滴侵蚀的关键因素)就出现在这段时间内.因此,要获得液固撞击初期的准确信息,可以采用突出液滴内部声学过程的方法,而暂时忽略液体的粘性和流动性.

    基于以上假设,假定坐标系的选择使得未扰动的流体是静止的,可以得到描述液固撞击初期的声学过程的基本方程为

 式中:p为波动压力;c为音速;t为时间;v为撞击速度;ρ为液体密度.

    式(2)~式(4)组成的方程组称为波动方程.引入状态方程ρ=ρ(p),此时音速c是一个与p=-ρ Ψ/ t有关的变量,波动方程成为一个非线性的二阶偏微分方程,在本文中称为非线性波动模型.

    引入Tait的水状态方程[4]

    p = Aρ^k-B               (5)

式中:A=1·014 766 3×10^-16;B=2·858 987×10⁸Pa;k=3~7·15(取7·15).可求得音速为

    c = [k(p+B)/ρ]12             (6)

式(2)、式(4)~式(6)组成的方程组有4个未知量Ψ、c、p、ρ,方程组封闭,可以求解.这就是非线性波动模型的控制方程组.当激波脱体以后,液体将发生侧向射流或飞溅,其流动性和粘性不可忽略,必须使用完整的流动模型.

    2　水锤压力的模拟

    水锤现象是一个经典的一维液固撞击过程,水锤压力是研究所有液固撞击过程的一个基本度量指标,因此本文首先对水锤现象进行模拟,从而对模型的合理性进行检验.

    水锤压力的导出使用以下的一维线性波动方程

式中:音速c0为常数.

    求解方程(7)可获得一个精确解,即水锤压力

    p₀=ρ₀c₀v₀            (8)