基于Newmark法的三角形板单元局部效应修正

　　三角形板单元是常用的求解薄板问题的有限元方法[1],即将结构离散为有限多自由度体系,然后进行动力分析,求解动力方程,算得动力响应[2,3].然而,由于这种传统的动力分析方法忽略了局部效应的影响,因而动内力计算结果会产生较大的误差.

　　所谓局部效应,是由于单元内连续质量影响而产生的,早在70年代由美国学者S.A.Anagnostopoulos等人首先提出[4].但是,这个方法有很大的局限性:计算公式采用近似的算法,所得结果与精确值偏差较大;计算公式完全依赖节点位移均被正确给定的前提;外部激励采用的是简谐荷载,对任意激励及结构阻尼均没有很好的研究.为此,本文提出了计算结构局部效应的新概念和新方法,其基本思想是利用S.A.Anagnostopoulos计算模型,进一步考虑局部效应对结构进行动内力计算,即在一般有限元方法的基础上迭加局部动内力修正项,得到较为精确的动力响应.

　　1 三角形板单元局部动内力的计算推导

　　板元的强迫振动方程为[5]

(按照新标准方程应改为

其中,D为薄板的弯曲刚度; W为板中面的横向挠度;ρ_A为板单位面积的质量;δ为板的阻尼系数;F为板单位面积上受到的横向动扰力.后文均按新标准书写.)

　　按照有限元法进行动力分析时,动荷载最终都是当量地作用在节点上,即板单元上是没有分布外载的,与四边形板单元一样,可以得到三角形板单元内任一点的动力平衡方程为[6]

现在考虑局部效应,即考虑单元上连续质量惯性力的影响,假设板单元内任一点的横向位移为

其中N为板单元的形函数矩阵,d为板单元节点的位移列向量.

　　以下的推导过程与四边形板单元一样,最后得到结构单元节点上的内力为

其中,P为节点列向量;K为刚度矩阵;M为质量矩阵;为加速度列向量.

　　如考虑阻尼的影响,则单元节点力应加上阻尼的影响

其中δ为阻尼矩阵.

　　为了计算修正的三角形板单元内力,必须建立三角形板单元局部效应的计算模型.为此按照位移法的基本思想,图1 a结构可以等效地分解成图1 b,图1 c.其中图1 c是一般有限元方法的计算模型,即将板上作用的力等效地作用在节点上,然后对其进行求解,板内所受的内力,对图1 b计算模型则往往是忽略不计的.然而,理论和实践表明[7],在外界扰频、材料密度和阻尼比较大时,局部效应往往比较明显.在这种情况下,就有必要考虑它的影响.

为了对图1 b计算模型进行力学分析,从图1 b中取出一个三角形单元进行单独分析,如图2 a所示.