工程结构工作模态的子空间辨识方法

　　引　言

　　传统的模态分析方法往往通过测量工程结构在非工作状态下的激振力和响应,进而采用频响函数或脉冲响应函数来识别模态参数,该方法在工程实践中取得了良好的效果[1]。但在以下方面存在着明显的不足。首先,传统方法的测试数据大多是在试验条件下得到的,而在工作条件下,结构内部各部件间的摩擦以及间隙这些非线性因素的影响,会直接影响到结构的模态特性,使得实验模态参数与工作模态参数存在明显的差异[2];其次,一些大型的工程结构通常需要花费大量的人力、特殊的设备去激励,大大增加了模态辨识的成本和难度;同时,由于试验条件的限制,激励信号很难完全覆盖所有频带,因而不能保证激励出工程结构的所有模态。最后,在工程实践中,一些工程结构在工作状态下只受到环境激励,而这些激励源的输入信号是无法得到的。

　　因此如何测试大型工程结构(如飞行器、海洋平台、核反应堆和桥梁等)在环境激励下的工作模态参数,就成为摆在工程技术人员面前的一个课题[3～5]。本文针对上述大型结构在工作条件下,其所受的环境激励近似为一随机激励的特点,以状态空间的形式来表述各测点的振动响应时间序列,并通过子空间辨识方法求取工程结构的系统矩阵和输入输出矩阵,进一步求得结构的各阶固有频率、阻尼和振型。

　　1　工程结构的状态方程描述

　　在时域中进行模态辨识时,通常采用微(差)分方程、传递函数矩阵等形式来描述结构的振动行为,而以上输入输出模型只刻划结构的外部特性而未深入内部。与此不同的是,状态空间模型则可以进一步深入到结构的内部情况,因此可以揭示更多的信息[6]。本节主要介绍如何将输入输出模型转化为状态方程模型。

　　对于一个N自由度的线性定常振动系统,在激励力的作用下,其振动行为可以采用下述微分方程组来描述

其中　x为N维位移向量;M₀,C₀,K₀分别表示系统的质量、阻尼和刚度矩阵(N×N);L为载荷分配矩阵,反映了各激励源在各激励点的载荷分配情况(N×P);U为外界激励。

　　将上式与恒等式组合在一起,可得

　　令,定义为状态向量,为2N维,并得状态方程

其中　A称为系统矩阵(2N×2N);B称为输入矩阵(2N×P)

　　系统的输出向量与状态向量X间的关系为

其中　Y为m维输出向量;C为结构的输出矩阵(m×2N);V为系统和测试噪声(m×1);式(3),(5)所述状态方程的离散形式为

　　式(1)系统的模态特性(μ,Ψ_μ)为如下方程的解[1]