复合材料层合圆柱壳的动力响应与层间应力

　　1 问题的提出

　　复合材料层合板壳结构在其面内铺层方向具有极高的强、刚度比,然而其层间结合面上的强度却较低.实践证明,振动特别是高阶振型极易造成层合板壳的脱层破坏.因而正确地计算分析层合板壳动力响应的应力特别是层间应力,对于深入了解引起脱层破坏的原因,改进设计工作是重要的.

　　在考虑横向变形效应的各类层合板壳理论中,一阶理论[1]通过采用适当的剪切修正因子,能够较精确地计算振动的低阶频率,但不能正确地计算横向应力.高阶理论[1,2]较一阶理论虽然具有更高的精确度,但当不同介质层的弹性刚度系数相差较大时,也不能得出正确的层间剪应力和层间正应力.采用三维解[3]来分析层合圆柱壳,虽然精确度高,但计算工作量大,沿厚度方向展开的幂级数收敛慢.

　　本文采用分层理论[4]来推导层合圆柱壳的动力响应方程.在壳的厚度方向取二次插值函数来描述每个数值层内位移沿壳厚方向的变化规律,对壳三个方向的位移取相同的插值表达式,不仅得出了与三维分析[3]的结果吻合良好的频率响应,而且计算出了合理的层间应力分布.

　　2 控制方程的推导

　　图1所示为一层合圆柱壳,x、θ、z分别表示沿母线方向、周向和壳法线方向的坐标,u、ν、w表示相应的位移分量.

　　如图1所示,假定壳沿厚度方向被分成Ne个数值层,按照层合壳的分层理论,将位移u、v、w写成

其中N表示沿壳厚方向总的节点数,

θ(i)表示二次插值函数:

在(4)式中,

此处,h^(k)表示第k个数值层的厚度,Z^(k)_b表示k层底的Z坐标.

　　将(1)式代入柱坐标下空间问题的位移--应变关系[5],得到第i个数值层中的应变表达式:

其中r_i表示第i个数值层的平均半径.

　　假定单层材料的主坐标与壳坐标x、θ、z方向一致,则第i层材料的三维应力--应变关系为

其中C₁₁⁽ⁱ⁾,C₁₂⁽ⁱ⁾,...,C₆₆⁽ⁱ⁾表示第i个数值层材料的弹性常数.

　　层合壳的动力响应方程由下列Hamilton变分原理导出.

　　其中W_s表示应变能,T和W_e分别表示系统的动能和外力功.将相应的W_s、T和W_e的表达式代入(9)式,经过一系列推导,推导出下列关于层合圆柱壳的动力响应方程.

　　其中分别表示作用于壳内、外表面x、θ、z三个方向的分布载荷分量,δ_i1、δ_iN表示Kronecker符号.其他有关量由下式定义: