复合材料单层板热状态下非线性振动分岔

　　0 引 言

　　随着科学技术的迅速发展,复合材料在航天航空、机械、化工、仪表工业得到了广泛应用。由于复合材料具有比金属高得多的比强度、比刚度以及在纤维方向近于零的热膨胀系数等特性,因此被应用在承受高温、高温度梯度以及循环温度变化等严厉热环境下工作的结构中。此外不均匀温度分布所产生的热变形已成为实际工程中的重要问题,所以工程设计人员越来越关心温度效应对工程结构的影响,因此与结构寿命有关的热变形分析在设计中已占据一定地位,有关复合材料结构热变形的研究一直是热点课题。基于上述原因,本文采用Galerkin原理研究了复合材料单层板热状态下的非线性振动分岔,利用Melnikov函数给出了复合材料单层板热状态下受横向微扰时发生混沌运动的临界条件,并讨论分析了温度、长宽比、板厚等因素对混沌运动区域的影响。

　　1 振动控制方程

　　参阅文[1]、文[2]可以得到受横向微扰时复合材料单层板非线性热振动控制方程[1,3,4]:

D_k、D₁、D₂分别是抗扭、抗弯刚度,E₁、E₂、μ₁、μ₂分别是x轴、y轴方向的弹性模量和泊松比,G为剪切弹性模量,ρ为密度,ν为阻尼系数,h为板厚,ω为板的横振位移,Φ为应力函数,N^T、M^T为热力和热矩,F、ω分别为横向扰力和频率。

　　假设复合材料单层板四边为不可移简支,那么其边界条件为:

　　板的端部伸长表达式为:

　　沿x和y方向的热力、热矩表达式为:

　　由于温度沿厚度方向分布对结构影响最大,取非均匀抛物线型热分布为:

　　设板的横振位移为:

　　把(7)、(8)、(9)、(10)式代入(2)式中得:

　　把有关各式代入(1)式中利用伽辽金原理且无量纲化可以得到下式:

　　2 复合板热分岔

　　若无扰动时ε=0 ,则动力系统是Hamilton系统,它的三个不动点中,(0,0)是中心,(±1,0)为两个稳定中心,由两个稳定中心处的Hamilton能量函数为H=。如初始条件φ(0) =0,可得平衡点(±1,0)对应的同宿轨道为:

　　根据Melnikov法同宿轨道的存在是出现分岔的标志,同宿轨道的破裂将导致系统出现复杂的分岔行为,为,可能出现混沌行为。 为了确定混沌发生的临界条件,可把(12)式化为[2]:

　　系统受到扰动后,异宿环破裂,用Melnikov函数来测量两轨道间的距离:

　　系统受到扰动后,异宿环破裂,用Melnikov函数来测量两轨道间的距离: