横观各向同性矩形板的非经典稳定问题

　　用数学弹性稳定理论的方法来解决弹性板壳的稳定问题具有很多优点,特别是相关精确解可以用来检验二维简化板壳理论及数值方法的适用性.王震鸣[1]利用胡海昌的位移函数求解了两对边简支均匀受压的无限宽平板的稳定等问题.柳春图[2]用三角函数表示平板位移,推导了四边均匀受压简支矩形板的临界荷载公式.王飞跃和何福保[3]同样引入胡海昌的位移函数,将面内双向均匀受压和受剪的平板稳定性问题,归结为求解三个非耦合的二阶偏微分方程式.以上工作均针对各向同性弹性材料且压力沿边界厚度方向为均匀分布.

　　本文分析了横观各向同性矩形板(假设各向同性面和板的中面相平行)单向受沿边界厚度方向为非均匀分布的对称压力作用的稳定问题(以后简称为非经典稳定问题).通过引入两个位移函数和两个应力函数,发现可将横观各向同性弹性力学的三维基本方程化为两个相互独立的状态空间方程.针对非经典稳定问题,结合层合近似理论求解了相应的状态空间方程,并导出了最终的特征方程.

　　1 基本列式

　　横观各向同性弹性体稳定问题的基本方程除本构方程外都可在文[3]中找到,而本构方程可在专著[4]中找到,这里不再列出.假设各向同性平面平行于x-y平面,则对x和y方向的位移分量u和v,剪应力τ_xz和τ_yz作如下变量替换

(1)

　　经过一系列简单的数学运算可从基本方程出发得到如下两个相互独立的状态空间方程

式中c_ij为弹性常数,,T是对称作用在矩形板x方向对边上的压力,沿y方向是均匀分布的,但沿板厚方向是非均匀的,如图1所示.进一步假设压力分布为T =T₀f(z),这里f(z)为已知无量纲函数,T₀为具有压力量纲的常数,其临界值的确定是本文的主要工作.与板受均匀压力作用下的经典稳定问题相对应,称此类稳定问题为非经典稳定问题.

　　2 矩形板非经典稳定问题的求解

　　由于矩形板所承受的压力沿高度是变化的,因此状态方程(2)和(3)中的算子矩阵中包含关于z的函数,直接求解比较困难.为此,将板等分成p层子层,并且使每一子层的厚度h/p足够小,这里h为板的厚度,见图1.假设

式中ζ= z/h、ξ= x/a和G= y/b为无量纲坐标.按照式(4)的假设,可知边界上满足三维的简支条件[4].将式(4)代入式(2)和(3)两式,利用三角函数的正交性质,对于任何一对模态数组合(m,n)可得

　　式中,以及

　　其中.由于每一子层足够薄,因此可以认为每一层内的所承受的压力是均匀的,这样可在第j子层中取,即在每一层内的压力取该层中面处的值.这样处理后,式(5)中的系数矩阵变为常系数,从而可得到对应的解为[5]