管道节流孔口流场的有限元数值模拟

　　1 引言

　　无论是在流体机械中,还是在流体传动与控制系统中,我们都会经常见到各种各样的节流孔口,如截止阀阀口、平板阀阀口、闸阀阀口、减压阀阀口、换向阀阀口、调速阀阀口等,都可以简化为不同形式的节流孔口。有时也可以根据需要在流体管道内布置不同的节流装置。这些阀口和节流装置的作用主要是对流体的流量、压力和流动方向进行调节和控制,以满足工作系统的要求。可以说节流孔口在流体系统中起着重要作用,对流体经各种孔口流动的流场进行计算,进而对其性能进行分析是十分必要的。然而由于孔口结构、边界条件及支配方程的复杂性,对其进行解析研究是比较困难的,一般可以采用各种不同的数值离散方法进行分析[1],如有限差分法、有限分析法、有限体积法、边界元法和有限元法等。与其它的数值离散方法相比,有限元方法具有一系列优点,首先是它可以把计算区域划分成任意形状和尺寸的网格,节点的密度可以根据具体问题而布置,对流动区域有比较好的适应性;其次是它高度模块化,当和大容量的电子计算机相结合时,比较容易编制通用计算程序等。

　　当采用有限元方法求解N-S方程时,可以从以下三种不同的表达式出发:一是原始变量式,它包含三个变量,速度u、v和压力p;二是流函数-涡量式,它包含两个变量,流函数W和涡函数X;三是流函数式,只有一个变量流函数W[2、3]。相对而言,每一种形式各有优缺点。例如,原始变量式方程阶次较低,物理意义明确,但是会产生非正定的矩阵方程,并且对插值函数有限制,而后两种形式都可以产生正定的矩阵方程。对于流函数-涡量式,由于涡量边界条件事先不能确定,两个方程也不能同时求解,必须采用分离的方法。流函数式只有一个场变量,可以使计算程序简单些,所需计算机时间也比其它两种形式少些,不过,它要求的插值函数阶次较高,矩阵方程阶次也高,对计算机内存量要求特别大。由于流函数-涡量式中消去了压力项,减少了变量个数,并且可以依据所计算出的流函数W和涡函数X,画出流场直观的可视化图象,也很容易获得其它物理量,如速度u和压强p等。因此本文采用的是N-S方程的流函数-涡量式,用有限元方法对其离散,并给出流场可视化计算结果。

　　2 数学模型

　　图1是管道内安装薄壁节流孔口的结构简图。流体在管道内的流动实际上是轴对称流动,数值解析应当是三维的[3],然而在本文的讨论中,考虑到流动特性及计算机容量、计算时间的可行性和费用等因素,用二维流动作了近拟。

　　不可压缩粘性流体作二维瞬态流动可以用表示质量守恒的连续性方程和动量运输方程来描述: