智能悬臂梁的振动控制

　　1　压电驱动原理

　　对于压电驱动器来说,是利用逆压电效应,即向压电材料输入电压或电荷后,将产生力的作用。对于梁来说主要考虑沿长度方向的应力,简化了的逆压电方程为

式中,Vpe(t)为所施加的电压;tpe为压电片的厚度;Epe为压电片的弹性模量。贴于梁表面的压电片产生的应力以剪切力的方式传递给梁,它对梁的作用可以于压电片两端点处的梁截面中点等效为一对平衡力和一对平衡力偶。根据Euler-Bernoulli梁模型,单面粘贴压电驱动器时,如图1所示,等效力偶为[1,2]

式中,分别是压电片与梁的厚度,Epe、Eb分别是压电片与梁的弹性模量;Vpe为电压。

　　2　驱动器的位置优化

　　由梁的模态理论可知,梁在x=xi处的单位弯矩激励下,在x处的挠度频响函数为[3,4]

式中,上标w和m分别标志“挠度”和“弯矩”,求和遍及所有模态,mk、ξk、Nk和Φk(x)分别为梁第k阶模态的模态质量、固有频率、阻尼比和固有振型电压Vpe激励产生的梁的挠度w响应为

（4）

　　其中,它是从压电驱动电压Vpe到梁挠度响应w的频响函数,上标p标志“压电电压”。如果压电片长度lp=x2-x1非常小,方程可近似写为

从上式可知,将压电片贴在Φ″k(x)最大处,将有最大的第k阶模态广义力激起第k阶模态的最大响应。根据Euler-Bernoulli梁模型可知,梁的模态函数为

式中,C为常数；确定。对于连续梁来说,求Φ″k(x)最大处的问题,可以转化成求极点的问题,即是求出端点的Φ″k(x)值,来优化布置驱动器。

　　3　模态空间控制方法

　　梁结构在有限元离散后,可描述为具有自由度的动力学方程[5]

式中,M、D、K分别为系统质量矩阵、阻尼矩阵、弹性刚度矩阵,u为系统控制力列阵;x、xa、xb分别为系统的节点位移、节点速度、节点加速度列阵,y为测量输出列阵;C为传感器分布矩阵,B为驱动器分布矩阵。

　　采用正则模态矩阵Φ,将动力学方程解耦,并整理将其表示在状态空间,得

式中,zk、Ak、fck分别为系统的第k阶固有频率、模态阻尼比、模态控制力列阵;Gk、Gak分别为系统的第k阶模态位移、模态速度;n为考虑系统控制的模态数目。

　　采用最优控制理论方法来设计模态控制增益参数。引入二次型目标函数

式中,Qk为正定加权矩阵,Rk为半正定对角矩阵,其对角元素rk11=∞,rk22=rk,rk为加权系数。由极大值原理求最优控制模态力fck,使二次型目标函数J最小。

　　4　实验