微分求积法分析弹性支承输流管道的稳定性

　　考虑流固耦合的输流管道的振动与稳定性问题具有较高的理论研究价值和广阔的工程应用背景,该问题近20年来已成为学术界研究的热点内容之一·有关这方面的研究,文献[1-2]作了较详尽的论述·现有的研究方法主要有有限元法、有限差分法等·这些方法在形成系数矩阵时需要计算大量的数值积分,计算效率不高·微分求积法[3-7](differential quadrature method,DQM)是一种用于求解边值/初值问题的有效方法,该方法原理简单,易于计算机实施,能以较少的计算工作量给出满足工程要求的解,目前该方法成功地用于多种工程力学问题的求解[4],它与有限元法相比,避免了大量数值积分计算,计算工作量较少,精度令人满意,计算效率较高·本文将微分求积法推广应用于分析具有一般端部约束条件的输流管道的动力稳定性,分析扭转弹簧和线性弹簧系数对动力稳定性的影响·

　　1　运动方程

　　考虑如图1所示的输流管道,左端固定,右端受到弹性系数为KT的扭转弹簧及弹性系数为K的线弹簧的约束·

　　假设管内流体作一维流动,只考虑小变形情形并略去二阶以上的微量,根据达朗伯原理,考虑内压引起的张力2νp(ν为材料泊松比),可以建立输流管道的振动微分方程为

　　在小变形条件下,考虑定常流情形(U/t=0),同时引入如下的无量纲量,将方程(10)化为无量纲方程:

　　其边界条件为

　　式中,kt,k为弹性系数KT,K的无量纲量·

　　设方程(2)的解为η=w(ξ)exp(Ωτ),将它代入方程,因重力只影响振动的平衡位置,对振动的其他特性无影响,所以忽略重力的影响后,可得到齐次微分方程及其边界条件为

　　其边界条件为

　　2　微分求积法模拟方程

　　微分求积法(DQM)的思想,本质上是用整个计算区域或某一坐标方向上所有网格点处函数值的加权和来近似替代函数在各网格点处的导数值·网格的划分、权系数的确定及边界条件的处理详见文献[7]·

　　方程(4)的微分求积法模拟方程和相应的边界条件

　　用下标b表示边界,d表示非边界,即

　　将式(6)和式(7)写成矩阵形式:

　　矩阵方程(9)中各子矩阵的元素可以从式(6)和式(7)得到,其中I为(N-4)×(N-4)单位矩阵·由式(9)消去wb后可得到

　　由于流速导致陀螺力的作用,Ω一般为复数,其虚部Im(Ω)表示输流管的无量纲自振频率·式中G为陀螺阵,K为刚度阵,G和K中含有流速u,无量纲弹性系数kt,k及质量比β等参数·