线性弹性体的工程应力和工程应变的关系

　　在线性弹性阶段，弹性体的真实应力与真实应变成正比，这是我们众所周知的胡克定律.但考虑泊松系数的存在，弹性体势必发生横向变形.然而弹性阶段一般来说是发生在介质微小形变时期，弹性体的泊松系数又总处在0.5以下，由此带来的横向变化更是微小，所以对工程实际问题的精度并没有什么影响，我们常常可以忽略这一点那么我们如何更细致地去考虑这个问题呢?弹性体的工程应力与工程应变应该更符合一个什么样的规律呢?本文将探讨一下常见的拉伸和剪切形变情况下考虑泊松系数时弹性体工程应力与工程应变之间的规律.

　　1拉伸压缩形变

　　直杆在受到拉伸和压缩时，横截面也发生相应的变化.工程应力由于不考虑泊松系数，认为横截面是不变的，而真实应力要考虑该时刻横截面的真实大小.对于泊松系数较大的杆件，在发生拉伸形变，这时横截面变化就不能忽略了.此时两者在数值上有较大的差别，工程应力和工程应变就不一定能近似地认为符合线性关系了.在实际工程测量中我们比较容易得到的是工程应力和工程应变的测量结果.因此这就有必要研究在线弹性阶段工程应力和工程应变之间的关系.鉴于在线弹性阶段直杆在拉伸和压缩时情况相同，我们就仅考虑直杆的拉伸形变.

　　假设一根均匀直杆，横截面为半径为Ro的圆形，直杆原长lo,拉伸过程任意时刻的长度为l，半径为R.受到载荷力δF的作用下发生拉伸形变，轴向长度变化为δl，横向半径变化为δR，v为泊松系数，E为弹性模量

　　在柱坐标系下，弹性体应变张量为

u为位移函数.在直杆轴线上任意截取一微元线段δsz，本问题只考虑纯变形，有为任意时刻杆轴线总长度.所以杆拉伸的轴向真实应变为又因为杆是均匀的，可另写为类似的横向真实应变为而工程应变为为总的长度变化.根据泊松系数的定义有所以半径变化为。

　　拉伸时任意时刻横截面的面积为

　　上面的计算考虑了泊松系数下横截面的变化，因此式(2)反映了线弹性均匀拉伸形变下，工程线应力与工程线应变之间的关系.虽然考虑了泊松系数下横截面的变化，但式中并没有显含泊松系数.

　　2剪切形变

　　在均匀弹性介质中，我们先取一个长方体，纵截面为矩形ABCD，如图1.上下截面受到剪切力F的作用下发生形变，设剪切应变为守.弹性体发生剪切形变后CD移至CiDi，由于泊松系数的存在，垂直于上下截面的纵向也势必发生收缩变化，上下截面距离不再相等，再加上剪切力的存在，上下横截面积也会发生变化.为了问题的简单，暂且先不考虑上下横截面积的变化.