基于振动理论的压杆稳定性分析

　　引　言

　　压杆广泛应用于机械、土木、矿山等工程技术领域,压杆的稳定性问题是影响其安全与否的首要因素。一般认为,压杆稳定性的研究始于Euler[1]。从推导过程来看,Euler给出的方法(材料力学方法)必须有小变形的前提,而事实上压杆处于临界状态时,可能是小变形,也可能是大变形。利用非线性动力学理论虽然可以求得精确解[2],但过程复杂,且对很多人来讲难度较大。从机械振动的基本理论出发,研究轴向受压梁的固有振动,并由最低阶固有频率退化为零求得压杆的临界力[3],这种方法可以弥补上述两种方法的不足。到目前为止,由该方法给出的只有两端铰支压杆的实例,这是因为,在这种情况下特征方程(频率方程)易解,而其它的边界条件下特征方程形式复杂,直接求解时将会遇到数学上的困难。本文利用线性代数的基本知识,通过去除平凡解的方法,得到了另外三种常见边界条件下压杆的临界力计算公式,结论与前两种方法一致。不仅避免了非线性动力学方法的困难,而且也克服了第一种方法的不严谨。与此同时,本文引入的去除平凡解的方法对类似问题的解决具有借鉴意义。

　　1　轴向受压梁的固有振动

　　图1所示轴向受压等直梁,其自由振动微分方程为

　　式中,ρ为梁单位长度质量,EI为梁抗弯刚度,P为轴向压力,w为梁的横向位移。

　　设w(x,t)=W(x)q(t)。代入方程(1),经推导可得

　　解方程(2)得到

　　特征值为

　　2　理想细长压杆的临界力

　　轴向力对梁的几何刚度有直接影响。当梁受拉时,梁的横向几何刚度增大,相应的固有频率增大;当梁受压时,梁的横向几何刚度下降,相应的固有频率下降。随着压力的增大,当梁的一阶固有频率降为零时,受压梁退化为处于临界状态时的压杆,此时的轴向压力即为压杆的临界力。基于此,通过研究固有频率随轴向压力的变化规律可确定压杆的临界力。

　　2.1　两端铰支的压杆

　　图2所示两端铰支梁,边界条件为

　　将边界条件(6)代入(4),得到确定系数a、b、c、d的方程组。由系数取非零解的条件得确定特征值的方程为

　　由式(5)知,一般情况下shλ2l≠0,所以必有sinλ1l=0。由此解得:λ1l=nπ

　　代回(5)式可得

　　由一阶固有频率退化为ω1=0,得两端铰支压杆的临界力为

　　这一结果可在有关振动书籍中找到[3]。

　　2.2　一端固支,一端自由的压杆