基于切应力条件的广义协调等参元

　　0　引言

　　为改进平面四结点等参元(Q4元)性态,Wil-son等引进非协调位移模式(Q6元),与内部自由度相关联,对弯曲问题的计算精度显著改善,其位移模式由两部分组成:

　　其中协调位移为双线性插值,非协调位移模拟弯曲引起的形状变化.对非平行四边网格,Q6元不能通过分片检验.文献[1]和文献[2]中,又分别根据常应力分片检验的强形式和广义协调条件导出非协调元NQ6和广义协调等参元GC-Q6.

　　本文作者仍应用常应力和线性应力下的广义协调条件,导出另外一种广义协调等参元.在单元导出过程避开形心位移条件,而补充以边界线性切应力广义协调条件.该非协调模式形式紧凑且不易出现奇异性.

　　1　线性边界应力下的广义协调条件

　　记u和-u为单元内部和边界位移变量.非协调元不保证单元边界上处处满足条件u-~u=0,其相应的能量泛函应修正为[3]

　　式中:∏p为协调元相应的能量泛函;T为单元边界力函数;~Fi和~Pi分别为给定的体积力和面力.用加权残值法可使单元间位移协调条件在某种积分意义上得以满足:

　　为保证单元收敛并保证计算精度,考虑如下线性边界力状态:

　　式中:nx,ny表示单元边界外法线的方向余弦;常应力项(f1,f3,f5)以保证单元通过小片检验,线性项为提高计算精度,f6η和f7ζ二项相应于线性切应力状态;其余各项(Λ)略去.将式(3及式(1)代入式(2)后,注意到协调位移满足单元边界位移条件-u-~u=0(在 Ae域),可得

　　2　广义协调位移

　　广义协调位移仍为完备的二次式

　　并记|J|=A+Bζ+Cη,A=a1b2-a2b1≠0.B=a1b2-a2b1,C=a2b3-a3b2,且

　　将式(5)代入广义协调条件(4),有

　　将上式中最后一条件用其强形式表示,分离为两方程:

　　可得8个广义协调条件.利用这些条件可将12个参数αi,βi中的8个参数α1,α2,α3,α5,β1,β2,β3,β5用4个参数表示:α4,α6,β4,β6,即

　　由此可得广义协调位移

　　式中:

　　式(8)给出了满足常应力和部分线性应力(包括切应力和正应力)状态下广义协调条件的位移模式,含4个广义位移参数.在任意四边形之特殊情况———单元为平行四边形时,则有a2=b2=0;从而B=C=0.由于刚度阵和应变形函数阵的计算仅涉及形函数的导数,故此时单元退化为Wil-son的非协调等参元Q6.

　　3　非协调应变形函数阵

　　对于本文的广义协调等参元,其非协调(广义协调)模式的应变形函数阵为[4]