交叉梁系支承刚度的识别

　　引　言

　　两组梁相互交叉联结而组成的结构称为交叉梁系。桥梁、船舶的甲板等结构常有一组纵向的主梁和另一组与之垂直的横梁组成,如图1所示,其两组梁相互垂直。

　　结构力学中处理这类问题是在交叉点处设想用一根竖向链杆O1O2把两根梁联结起来。如图2所示。两根相互交叉的梁,当其中任何一根梁由于弯曲变形而在交点产生转角时,对另一根梁来说将受到扭转,在结构力学中通常将这种较小的扭矩和弯矩的相互影响略去,而只考虑它们之间在竖向的相互承托作用[1]。

　　交叉梁系周边的支承经常是按铰支或固支来计算,而真实的结构常常是弹性支承,如何来识别其支承刚度,对解决工程实际问题具有重要意义。

　　1　交叉点的传递矩阵

　　支承刚度的识别是动力学的反问题。动力学中采用与结构力学类似的简化方法,分别取交叉点处的集中质量进行受力分析,并虚加惯性力,见图3。

　　其中,M0为弯矩,S0为剪力,zo1=zo2=zo为交叉点处的挠度,F,F″为链杆对梁的作用力,且ML01=MR01=M02,Mf02=Mb02=M02。

　　对于梁AB、梁CD,集中质量O1、O2分别满足z向力的平衡条件,见图3a、图3b,得

　　将(2)代入(1)得

　　AB作为主梁,CD作为横梁,且两根梁的端部均为自由端。以CD为例,由O2为中心分别向C、D端传递,得到始末两端的传递关系。O2至C

　　O2至D

　　用计算机代数语言编写,支承刚度是以符号形式出现在Cij,Dij之中(i,j =1,2,3,4)。C,D端为自由边界条件,则MC=SC=MD=SD=0,由(4)、(5)式列出四个方程组成的方程组,即

　　目标是求出Sf0、Sb0。将z0看作已知量,(6)式表示为含四个未知量θ02,M02,Sf0,Sb0的非齐次线性方程组。求解此方程,可得Sf0=f1·z0,Sb0=f2·z0。将Sf0、Sb0的表达式代入(3)式。就可得到交叉点O1处左右端的传递关系。

　　再研究AB主梁,按传递矩阵法的通常做法[2][3],只需将(7)式写入,就能实现由A一直传递至B,得到总的传递矩阵,同时含梁AB的支承刚度,引入梁AB的边界条件,可获得含支承刚度的频率方程f(k,ω)=0,输入实测频率即可得到支承刚度k。

　　为进行支承刚度的对比,在实验室里,先取若干个圆柱形弹簧,采用德国Zwick公司小型电子拉力机测量其刚度值,将该值作为真值,与识别值进行对比。

　　2　应用实例

　　2.1　四个相同支承刚度的十字形交叉梁系

　　如图4所示,钢制AB梁,长500mm,宽20mm,高20mm,钢制CD梁,长500mm,宽21.3mm,高21.3mm,弹性模量为E=2×1011N/m2,四周有弹性支承。图5所示,每根梁划分7个集中质量,主支梁AB,m2= 0. 3538782kg,m4=m6=m01=0.21232692kg;分支梁CD,m2=0.132kg,m4=m6=m02=0.1872kg;取中国弹簧厂同一批的4只压簧,外径D=14mm,高h=34mm,簧丝直径d=2.5mm,测量其刚度值,得出平均刚度k=33.725kN/m,该值将作为真值。用502胶粘结在梁AB的2及14站的位置上,CD梁也同理。然后将4只压簧的底部粘结在刚度很大的基础上。将实测的第一阶频率30Hz代入计算机代数语言编写的传递矩阵法中去,得