具有区间参数的不确定结构静力区间分析的一种算法

　　在工程问题中,总会遇到一些不确定性因素。例如,由于测量不准确、施工水平与条件限制等因素,导致结构材料参数、几何参数和外力等实际上存在着不确定性。随机理论、模糊集理论和区间分析是解决不确定性问题的3种常用方法[1~3]。用随机理论或模糊集理论求解问题时,常常需要知道不确定性参数的概率密度函数或隶属度函数。在实际中,由于样本数据的缺乏,概率密度函数可能难以准确给出;隶属度函数有时难以确定,而只能带有主观性地人为给定,这些因素将影响分析结果的可靠性。为使理论模型真实地反映客观实际,须尽量减少人为因素的影响,运用区间分析求解不确定性问题,正是这一思想的体现。

　　区间的概念在工程中广泛存在。例如,在结构设计中,某零件的长度要求为x,公差要求为±Δx,则该零件按精度要求加工后的实际长度在[x-Δx,x+Δx]范围内,至于服从何种概率分布需要通过抽样统计来确定。在区间分析中,该零件长度可用区间数表示为x = [x—,x—],其中,x—=x-Δx和x—=x+Δx分别为x的下界和上界。可见,区间分析法把不确定性参数视为未知变量,并在具有已知边界的区间内取值;用区间数描述参数的不确定性时,仅给出不确定参数变化的上下界即可,不引入其它人为因素。

　　近年来,应用区间分析法进行结构分析的研究逐渐受到重视。在工程设计中,设计者往往最关心某些量的变化幅度。例如,在结构设计中,某些结构参数在一定范围变化时,需要知道结构中应力的变化幅度以保证结构的承载能力。在结构动力学分析中,当设计参数在一定范围变化时,需要知道结构振动固有频率的变化范围,以避免共振现象等。在解决工程中的不确定性问题时,区间分析法具有简单实用的优点,能够给设计者提供比较重要的信息,直接得到所关心参量的变化范围。

　　本文主要研究具有区间参数的不确定结构的静力响应问题,其核心是静力区间方程组的求解。由于区间数与普通数有很大差异,其四则运算规则完全不同,在用区间分析求解不确定性问题时,有许多新问题需要解决。其中一个重要问题是如何保证解区间不被放大或缩小,另一个问题是如何快速获得解区间。本文针对这两方面问题,对于不确定结构的静力区间分析提出一种算法。先采用该算法思想来计算函数值域和求解线性区间方程组,对该算法的可行性和有效性进行了验证,然后用结构分析的算例说明:本算法可以比较快速、有效地求解具有区间参数的不确定结构系统的静态响应。

　　1　问题描述

　　对n阶自由度线性结构进行静力学分析,其位移响应的有限元方程为