应力张量在坐标变换下相似性的实验证明

　　1　应力张量

　　一般情况下,物体内任意一点有九个应力分量,它们是:

　　三个正应力分量:sx,sy,sz;

　　六个剪应力分量:sxy,sxz,syz,syx,szx,szy

　　由剪应力互等定理有:sxy=syx,sxz=szx,syz=szy,则一点的应力状态可由六个应力分量sx,sy,sz,sxy,sxz,syz完全确定.把这六个分量表示成矩阵的形式为[1][4]:

　　称(1)式为应力张量,其各个元素均有明确的物理意义,应力张量是实对称矩阵.

　　2　相似变换及变换矩阵

　　式(1)中六个应力分量的确定依赖于特定的坐标系,设某一点的应力张量在两个坐标系A、B中的应力张量分别表示为:

　　坐标系A、B均为右手直角坐标系,如图1所示,两者坐标轴之间的方向余弦如表1所示:

　　把方向余弦的各个分量写成矩阵形式并记为:

　　称(4)式为坐标变换矩阵.

　　不同坐标系下的应力张量A、B与其对应的坐标变换矩阵T之间满足以下关系:

　　上式中,T′为矩阵T的转置矩阵.

　　又T为正交单位阵,故

　　则有

　　由相似矩阵的定义[2]可知,B与A是相似矩阵,记作B~A.

　　3　应力张量的性质

　　综上可知,

　　(1)应力张量是实对称阵,故适用于实对称阵的一切性质同样适用于应力张量.

　　(2)应力张量是实对称阵,故应力张量一定相似于对角阵.这一论述的物理意义在于,证明了描述一点应力状态的主应力一定存在.

　　(3)处于不同坐标系下的应力张量是相似矩阵,相似变换矩阵即为对应的坐标变换矩阵.其实际意义在于,若已知某点在某坐标系下的应力,求该点在另一坐标系下的应力,则只需将数据代入(5)式进行计算即可.

　　(4)相似矩阵有相同的特征值,即应力张量的特征值不随坐标变换而改变,易证,这些特征值是应力张量的主应力,相应的特征向量是该点的主方向.其实际意义在于,若已知某点的应力分量,求该点的主应力及主方向只需求解应力张量的特征值及特征向量.

　　(5)应力张量是实对称阵,故其特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交,即三个应力主轴相互垂直.由此可由应力主轴建立新坐标系,称之为主应力坐标系,则确定一点主应力及主方向的过程等价于从原坐标系到主应力坐标系的相似变换.变换矩阵即原坐标系下应力张量的特征向量构成的矩阵.

　　本文将以Ansys构建实验平台对一个实际构件进行分析,取出其在不同坐标系下的应力值,导入Matlab进行计算,以验证上述结论.

　　4　用Ansys进行应力实验