一种边界上满足C1连续条件的4结点圆柱壳单元

　　1　问题的提出

　　应用有限元法分析圆柱壳结构时,若采用基于Kirchhoff假设的板壳单元,很难构造满足C1连续条件的弯曲位移模式[1],除非增加结点的自由度[2],或增加单元的结点参数.前者在实际应用时涉及到高阶导数自度的边界条件,难以处理,同时高阶导数自由度在结点的连续与实际结构情况可出现矛盾,由此致使其计算结果不可能收敛到精确解.后一种方法所构造的协调单元,有些收敛尚快,有些则较差,而且自由度较多,计算列式烦复,计算工作量大.虽然工程中不满足C1连续条件的非协调板单元有时计算精度较高,但有时也不能保证其收敛.若采用考虑剪切变形的板壳单元,这种单元将横向转角视为独立的参变量,只需构造满足C0连续条件的插值函数.但这样构造的板壳单元在用于薄壳结构时,又容易出现剪切锁死和零能模式现象.因此基于薄壳理论,构造满足C1连续条件的4结点协调板壳单元还是非常必要的.

　　在对圆柱壳结构进行离散化时,一般采用平板单元和曲壳单元.用平板单元逼近圆柱壳结构,由于垂直于单元交界面上的切线不连续,易产生附加弯矩.只有当计算网格划分较细密时,计算精度才能满足实际要求.而采用曲壳单元,虽能更好地反映圆柱壳结构的真实几何形状,但计算烦杂.而采用能真实描绘圆柱壳结构圆弧形边界条件的圆柱壳单元,无疑是最佳的选择.但如何构造满足转角连续的板壳单元,至今尚未得到很好的解决.

　　本文作者针对圆柱壳结构的特点,构造了在单元边界上满足转角连续条件的圆柱壳单元.该圆柱壳单元考虑了薄膜效应和弯曲作用的耦合关系,其位移模式简单,结点参数以及自由度均较少.不仅满足收敛条件,而且能够保证计算精度的要求.

　　2　圆柱壳的应变-位移关系

　　由薄壳理论可知,柱壳上任一点的位移(如图1所示)可由其径向分量、环向分量和法向分量w确定.其应力状态可看作为薄膜应力和弯曲应力的组合,它们之间相互耦合.根据Kirchhoff直法线假设,壳内任一点的应变,可通过中面上6个广义应变分量来描述,它们和中面位移的关系为

　　式中,εx、εy分别为x、y方向面内薄膜应变,εxy为面内剪切应变,κx、κy分别为x、y方向面外弯曲应变,κxy为面外扭转应变.

　　3　构造单元的位移模式

　　面内位移u和v可采用二维双线性插值函数,引入量纲一坐标

　　式中,a和b分别为单元沿径向和环向的长度.则面内位移模式可表达为

　　式中,Mi=1/4(1+ξiξ)(1+ηiη),i=1,2,3,4;ξi、ηi分别为结点i处ξ及η的取值.

　　法向位移w采用单位宽纵向和横向柱壳条带法向位移叠加的办法[3,4],纵向和横向柱壳条带的法向位移分别由其两边界位移内插,而两边界位移又由各自相应边的结点位移内插.插值函数均采用Hermite函数,单元边界上的转角采用线性插值.这样,不仅可以保证在单元间公共结点上转角的连续性,也能反映单元的刚体位移、常应变(常曲率、常扭率),因此满足了收敛条件.于是柱壳中面的法向位移为