等压圆洞的弹塑性随机场

　　岩土工程很早就注意到岩土介质的非确定性，及其导致的工程设计的风险性.以往的大量工作着重于岩土性质特征参数的随机性质统计研究^〔1-4〕，也有应用于边坡失稳概率和计划可靠性的报告叭地下工程可靠性分析主要赖于随机计算力学⁵的手段，显然，随机数值模拟对于某些具有简单初边值条件的问题将耗费太多的计算时间.本文根据随机微分方程的均方理论，研究在轴对称条件下圆形洞室的弹塑性随机场，给出了满足随机Drucke:Prage:屈服函数的随机应力场和位移场的解析方法和拟解析式，并进一步探讨了在二阶精度展开下随机场的一阶矩和一阶精度的二阶矩.基于本文的研究，可方便地评价圆形隧洞结构稳定性的可靠度.有关弹性随机场解析法参见文献^[6].

　　1微分方程的均方理论^〔7]

　　工程实际中涉及到的随机微分方程(Randomdifferentialequations)具有如下形式:

　　其中:A(t)，州t)以及x。都是随机向量.到目前为止，理论上对这类微分方程的均方性质的研究还不十分完备，但在较少的条件下已证明〔7)若A(t)，Y(t)以及x。的随机特性已知，并且A(t)和玖t)为均方可积，则方程式(1)存在与确定性相似的均方解

　　理论上，在确知随机变量A(t)，玖t)和x。的随机特性后，就可计算x(t)的随机密度函数，但其中的计算是极为复杂的.工程中往往关注的是变量的统计特性，对于任意的向量随机函数g(p)，若给定的随机自变量p的统计特性为

　　2等压圆洞弹塑性随机场

　　2·1满足Drucker一prager准则的塑性应力场

　　轴对称问题通常采用极坐标(r，0)来表达，如果介质的随机力学性质可用材料参数(如弹塑性剪切模量G，屈服参数a，ß)随坐标(r，0)的变化表示，即有随机参数向量场

　　为随机微分方程，存在给定边界条件下与确定性解相应的均方随机解.假如随机介质的屈服函数仍具有与确定性问题相一致的形式，如采用Drueker一Prager准则，仍有

　　式中:c为内聚力;中为内摩擦角;I，J分别为第一和第二应力不变量.在轴对称平面应变条件下，且

　　2.2弹性随机应力场

　　3弹塑性随机场的统计特性

　　3.1塑性应力场的均值解与方差为方便讨论，将式(18)简计为

　　于是塑性随机应力场二阶精度的均值和一阶精度的协方差矩阵为

　　3.2弹性区随机应力的均值解与方差

　　　由式(19)可知弹性区应力不仅与塑性屈服应力参数a，ß的随机特性有关，还与塑性区半径R。相联系R。的随机统计特征虽然仍可用本文第1节的方法求取，但其表达的方式会相当复杂;另一方面，a和ß都是很小的量，其变化不大时可不考虑R。的随机性.那么采用二阶精度展开时，弹性区应力的均值取式(33)相同的形式，于是