空间直线度误差的快速评定

    一、前言

    直线度误差的评定是任何准直测量中必须评估的方法。根据形状误差的定义,应按最小条件,即用最小区域的宽度或直径来评定,由于数据处理的复杂性,产生了许多近似和准确的方法。这些不同的数据处理方法会直接影响直线度误差的计算精度。对平面内直线度误差的数据处理方法的研究已比较成熟,而对空间直线度误差的数据处理方法的研究则相对较少。文献[1]、[2]将空间直线度误差的处理归结为4个独立变量的非线性最优化问题。为了方便求解先将目标函数利用台劳展开线性化,求得近似解;然后再用迭代法得到一定精度的近似解。文献[3]将空间直线度误差的处理归结为6个独立变量的非线性最优化问题。为了方便求解利用遗传算法求得一定精度的近似解。

    本文提出一种快速评定方法,即首先借用平面直线度误差数据的准确处理方法[4]取得包容所有测点的准最小四棱柱,此四棱柱由两两平行的平面组成且其中两个平面垂直XOZ平面、两个平面垂直XOY平面(直线方向近似为X轴);然后将所有测点沿棱的方向投影到棱的垂面上,在垂面上找这些点的最小外接圆;则此最小外接圆直径为空间直线度误差,过此最小外接圆圆心与棱平行的直线为理想的空间直线。

    二、数学模型

    对于空间直线度误差即任意方向的直线度误差以轴线最为典型。由于轴线是抽象的要素,无法直接测量,必须对其相应的圆柱面进行测量后经数据处理才能得到实际轴线,最后得到直线度误差。假设对圆柱面在若干横截面内测量轮廓的坐标值,然后根据圆度误差的求解方法求出各横截面轮廓的理想圆之圆心M0,M1,M2,M3,M4,,,。将这些圆心连接起来即为实际轴线。这些圆心仍简称为测点。

    设各横截面轮廓中心的坐标为M0(X0, Y0,Z0),M1(X1, Y1,Z1),M2(X2, Y2,Z2),M3(X3, Y3,Z3),Mn(Xn, Yn,Zn),如图1所示。根据形状误差的定义,应按最小条件来评定空间直线度误差,即用最小区域的直径来表示,亦即所谓/最小区域法0。在手工求解时构成此圆柱面最小区域的评定标准形式繁多,但可归纳为三种基本类型[5],即三点接触式,四点接触式,五点接触式。计算机求解时还可用各测点到理想的空间直线的距离的最大值必须是各测点到任意空间直线的距离的最大值中最小的作为评定标准。这判定标准的数学表达式是

    其中Q表示点到直线距离的函数,p表示测点,P表示所有测点的集合,u表示任意一条直线, U是所有直线的集合。集合P中所有测点p的参数是给定的,集合U中所有直线u的参数是待定的、未知的。满足这极大极小关系的直线u是所要求的直线。这极大极小关系的评定标准虽然表达简洁但实施复杂。因此本文采用手工计算时的评定标准三点接触式作为评定标准,而四点接触式、五点接触式的数学表达式太繁不予考虑。三点接触式的内容为:圆柱面最小区域与被包容的实际直线间至少有三点接触,其中的三个接触点必须在圆柱面最小区域的同一轴线剖面内。如图2所示,三个触点A、B、C的投影分别为a、b、c。此外三个接触点中的B点必须在点A、C之间。其数学表达式如下: