基于矩阵理论的直线度评定算法

　　0概述

　　直线度误差是指被测实际线对理想直线的变动量。由定义可知，直线度误差的测量原理是选用一条标准直线作为理想直线与被测实际线相比较，从而确定该变动量的大小。理想要素所处的方位不同，所得到的被测要素对其理想要素的变动量就不同。国家标准规定形状误差的大小必须按最小区域法评定，因为它能保证误差的唯一性。目前对于给定平面内的直线度误差的评定，主要采用最小区域法、两端点连线法和最小二乘法2。文献2分别用不同的优化方法探讨最小区域法的直线度评定方法，尽管他们都是从直线度的定义出发，对直线度进行了很精确的评定，但当采样样本数量很大时，其评定算法的计算速度较慢;文献2给出了两端点连线法评定直线度的计算机处理方法，但其精度太低;文献2采用近似的最小二乘法对直线度进行评定，尽管其精度稍低于最小区域法，但其算法具有便于计算机计算的明显优势，然而，但当采样样本数量很大时，其处理速度仍然不快。随着机械制造的发展，在线测量技术和补偿技术得到越来越广泛的应用，为满足工业控制中实时性的要求，这里提出了在采样样本数量很大条件下，基于矩阵理论的、在最小二乘意义下的直线度评定的算法。

　　1直线度评定数学模型的建立

　　平面上的一组采样样本点为P1,P2,...,Pm，分别用Xp1)Yp1)，(Xp2, Yp2)，...(Xpm，Ypm)表示它们的坐标;用Xp表示向量(Xp1，Xp2，...Xpm)即X坐标;类似地Yp表示Yp坐标。在平面上我们可以用如下方程唯一地表示一条直线。

　　单位向量( n1，n2)正交于这条直线。一个点在这条直线上当且仅当它的坐标(X，Y)满足方程(1)。如果P=(Xp，Yp)是不在直线上的点，我们计算

　　则lrl是它到这条直线的距离。因此如果我们想要确定条直线，使己知点到它的距离的平力一和最小，我们必须求解个约束的最小二乘问题

　　满足

　　令A是线形方程组(2)的矩阵，X表示未知向量(c,n,n2)r,同时r是方程的右端，式(2)变形为

　　由矩阵的QR分解理论(2)可知：矩阵A(A∈R^mx3可以唯一地分解为一个正交矩阵Q(Q∈R^mxm)和一个上三角矩阵R(R∈R^mx3)的乘积( 即A=QR);又由正交矩阵的基本概念知：Q^-1=Q^T。因此，在式(3)两边左矩阵Q^T可得

　　这样，我们的问题便简化成为求解一个小的方程组(5)。由于正交变换y=Q^Tr保持范数不变，即对于正交矩阵Q,llyll₂=llrll₂;又由于正交矩阵Q^T的行向量为正交向量，即每个行向量的内积为1，因此，在采样样本数m足够大的条件下，我们的问题转化为下面的方程组