周边固支复合材料椭圆板的自由振动

    1　引言

层合板是结构中的重要构件,许多学者对其自由振动的情况进行了研究[1～5],然而这些研究大都具有 很大的局限性,文献[1～3]讨论了各种辅层和边界条件下的矩形板的自由振动问题,文献[4,5]讨论了圆 板和椭圆板的自由振动,但文献[4]中只讨论了圆板和环板,文献[5]则只限于正交铺层的情况。 本文就周边固定的各种铺层的椭圆板的自由振动问题,提出一种数值方法,将频率方程用板弯曲时的 格林函数来表示,并用伽辽金法估计了格式函数,从而使问题得以解决。

    2　基本方程和边界条件

若采用一阶剪切变形理论,忽略面内的惯性、转动惯性以及耦合惯性的影响,则其控制方程可由文献[7]得到

其中,u、v、w为中面位移,φx、φy为法线转角,ρ-为板单位面积的质量,Lij为微分算子

若板的周边固支,则其边界条件为,在曲线上各点处有u=v=φx=φy=w=0。

    3　求解方法

    3.1　频率方程的建立

    (1)式的解可写为

式中,ω为板振动时的角频率。(6)式的积分很难用解析方法积出,为此,采用如下的近似方法,将积分区域进行图1形式的分割后,(6)式可写为

式中,δij为Kronecker符号,(8)式即为求解板固有频率的特征方程。

    3.2　格林函数的确定

设前面所述的格林函数如下

式中,Am(ξ,η),…,Em(ξ,η)为待定系数,ψi(x,y)为选定的满足边界条件的试函数,当周边固定时,可选

由(11)式得到一组求解Am(ξ,η),Bm(ξ,η),…,Em(ξ,η)的线性方程组,求解出Am(ξ,η)等之后再代回(9)式便可得到格林函数Gi(x、y、ξ、η)。

    4　数值算例和收敛性研究

算例1。为验证算法的收敛性和计算精度,取文献[6]中的例子,即一各向同性椭圆板,设D=,其最低的四个频率因子随级数项数M和积分区域分割数n的收敛情况见表1和表2,板的长轴与短轴之比为a/b=2.0。

算例2。作为数值算例,计算一反对称角铺设层合板的固有频率,板的材料常数为E1=138GPa,E2=8.96GPa,G12=7.1GPa,G23=3.98GPa,ν12=0.3,铺层方式为30°/-30°/30°/-30°,令D=E1h3/12(1-ν12ν21),该椭圆板的频率系数见表3。计算时取M=40,n=177。

    5　结语

用格林函数和伽辽金法求解了周边固支复合材料层合椭圆板的固有频率,数值算例表明,该方法具有较好的收敛性和较高的计算精度。本文只讨论了周边固定的情况,对于其它边界条件,只要选择合适的函数ψi(x,y),本方法仍可适用。