运用改进的Gause-Newton优化算法拟合圆柱和空间直线

　　0　前言

　　国内许多企业早期购入的三坐标测量机已超出服役年限,其测量系统以及计算机的软硬件或陈旧或损坏,多数已不能正常使用,至少已不适应当前的技术 要求,面临着改造更新。上海市机床研究所顺应这一市场需求,经过一年多的探索,已成功开发适用于三坐标测量机改造的测量系统、数据通讯接口和相应的计算机 软硬件。

　　众所周知,圆柱轴线或空间直线的拟合是一个四维问题,属于非线性拟合的范畴,而且与圆度仪上测量相比,在三坐标测量机上测量圆柱的测量点数少得 多,因此,更难做到使数据采集点在垂直于圆柱轴线的平面内沿圆周均匀分布。这些条件均限制了一般最小二乘法在圆柱拟合上的应用。我们运用改进的 Gause-Newton优化算法很好地解决了这一问题。

　　1　Gause-Newton法简介[1]

　　1.1　迭代过程

　　设有目标函数

　　为使minf(X)成立,选择一组初始值　X0=(x10,x20,…xn0)T,计算校正量

　　式中,A0=φij(X)=φi(X)xj;φ(X0)=(φ1(X0),φ2(X0),…φm(X0))。然后,计算 X1=X0+ΔX0,返回至式(2)。重复迭代过程,直至 ΔXk <ε,则Xk+1即最佳估计值X*。以上过程即Gause-Newton优化技术。

　　1.2　步长因子Sk的估算

　　上述方法对初始值的要求较高,为了避免在迭代搜索过程中步入误区,引入步长因子Sk,也就是说,在用式(2)算出ΔXk以后,求Sk,使 f(Xk+SkΔXk)为极小。用普通的最小二乘法,令dfdSk=0,可估算Sk。然后令Xk+1=Xk+SkΔXk,重复迭代过程。直至 SkΔXk <ε,结束迭代过程。

　　2　Gause-Newton法在圆柱拟合中的实现

　　2.1　目标函数f(X)

　　空间直线或圆柱轴线均可表示为

　　式中,(x0,y0,z0)为直线上的一个点,用于确定直线的位置,(p,q,r)为直线在空间的方向余弦,确定直线的方向。

　　将式(3)改写成

　　式中,u=p/r,v=q/r。

　　这里假定直线最接近OZ轴方向,并且在(x0,y0,z0)中“锁定”z值,则构成式(4)的待估参数矢量为

　　这就是为什么说圆柱轴线的拟合是一个四维问题的原因。

　　设测量点的坐标为(xi,yi,zi)(i=1,2,…,m),测量点到待估轴线的距离为

　　分子上的双层竖线 表示欧几里德模。可展开为

　　于是

　　且构造目标函数为

　　式中,R0为圆柱的半径,取R0=∑Ri/m,当R0=0时,圆柱退化为空间直线。

　　2.2　偏导数矩阵Ak

　　式(6)代入式(7),再相对式(5)的各参数取偏导数,整理后得