测量不确定度中求分项自由度的讨论

　　1.描述估计精确度(以下简称精度)的精度的几个量

　　1.1估计方差的方差(或估计方差的标准差)

　　估计方差的方差(或估计方差的标准差),是描述估计方差与真方差的接近程度的量。就好比测得值的方差(或标准差)是描绘测得值与真值的接近程度 的一个量一样,是测量再现性的测度。估计方差的方差(或标准差)越小,说明估计方差与真方差越接近,估计的越正确,估计的质量越高。反之,则说明估计方差 与真方差相差大,估计质量不高。当其为零时,说明估计方差与真方差相等,估计的质量最高。

　　设ΔU(x)为估计方差的标准差,U(x)为估计方差。则由贝塞尔公式:

　　(1)当测得值为正态分布时

　　式中:σ2为真方差(即估计方差的期望值)。如果它的值不能计算出来,一般也可以用U(x)(即估计方差)来近似。在上式中,因为Σ(xi--x)服从正态分布,所以Σ(xi--xσ)服从N(0,1)标准正态分布。因此Σ(xi--xσ)2为x2分布。由误差理论知

　　式中:v=n-1称为自由度(即互相独立的测得值的个数)。这样,

　　(3)式可以写为

　　式(4)也可以写成:

　　由式(4)、(5)可见,计算v的方法有两种。其一是知道测得值的正态分布,又知道独立测得值的个数n-1,就可以求出v=n-1。其二是知道对估计精度的精度要求的相对值ΔU(x)σ2或ΔU(x)U(x),也可以求出v。由上面对ΔU(x)与U(x)的定义可知:

　　U(x)σ2=测得值估计方差的标准差真方差 测得值估计方差的标准差估计方差是一个无量纲的数,它描绘了估计方差与真方差的接近程度。由式(5)可见该值的平方与v成反比。即该值越小自由度v越大, 说明估计方差的标准差越小,估计精度的精度越高,估计的越正确,估计质量越高。若估计方差的标准差为零,则v→∞说明估计方差等于真方差,估计质量最高。 反之,如该值很大,即v很小,则说明估计的质量太差。若由两个实验室用不同的方法对同一量进行测量并报告其结果,如估计方差相同,但v不同,v大的实验室 给出的估计方差比v小的实验室给出的估计方差的估计质量高。在这里,自由度的大小说明了估计精度的精度的高低。所以在给出测得结果的估计方差(或估计标准 差)时,还应给出自由度,以便于比较给出估计方差的精度的高低。

　　(2)当测得值为其它分布时(也包括正态分布)

　　可由下式经整理、运算、化简等(详见文献[4]),得出如下结论:

　　式中,k为与分布有关的系数,称峰态系数(或超越系数)。已知分布后可以到相应的参考书中查到。