一种求解弹性地基上变刚度多支承压杆的新方法

   1　引　言

　　压杆稳定性分析是结构工程计算中非常重要的一个课题,但常规的分析方法是根据不同的支承情况写出不同的微分方程求解,由于没有统一表式,显得非常不便,且不易处理中间有离散的弹性支承或置于弹性地基上压杆的稳定性问题。本文根据常规初参数法的思路[2,4],首先推导出弹性地基上任一段压杆两端位移、内力向量间的关系,对于中间有离散弹性支承或变刚度的压杆,利用节点处的内力平衡和位移连续条件,依次推进,逐段写出压杆两端和支承两侧的位移和内力向量间的关系,进而得到整个压杆两端的位移和内力向量间的关系,再利用端部给定的约束和失稳发生时存在分枝解的条件,最终得到描述失稳的控制方程,它始终可用一个二阶行列式为零来表示,解此方程可求出压杆的临界压力。与传统的方法相比,本文方法不仅将两端任意支承的压杆稳定性问题统一写成一个二阶行列式为零的形式,便于求解,而且还易于处理弹性地基上中间有离散弹性支承及变刚度压杆问题。本文方法应用范围广、计算简便且力学概念清晰。

    2　基本方程及传递矩阵

　　考虑一弹性地基上受压弹性杆,设地基系数为K,弹性杆两端任意支承,如图1所示。

　　现设其长度为l,抗弯刚度为EI,失稳状态下其挠曲线近似微分方程为:

    根据常规初参数法的思路,方程(1)初参数形式的解可写成下列一般形式:

    根据常微分方程的求解方法及以上条件,f1(x)～f4(x)可分为两种情况确定。

　　(1)当时:P2-4KEI>0时:

    {C(x)}=[T(x)]{C₀}           (6)

　　当x=l时,(6)式可写为

　　　　　　　　　　　{C}^r=[T]{C}^l          (7)

　　式中,{C}r=[y(l)θ(l)M(l)Q(l)]^T、{C}¹=[y0　θ0　M0　Q0]^T称为状态向量,其中各分量有明确的力学意义,分别表示压杆左端和右端的挠度、转角、弯矩及剪力。[T]为传递矩阵。

    3　传递矩阵法

　　现考虑一置于弹性地基上中间有离散弹性支承、变截面、两端任意支承的受压弹性杆,如图2所示。

　　由(7)式得:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　{C}^li=[Ti]{C}^ri-1          (9)

　　式中{C}i的上标l、r分别表示第i号节点左截面和右截面的状态。下标表示节点号。[Ti]由(8)确定,但要将(8)式中的l、EI分别换成第i段杆的li、EIi,其中的下标i表示第(i)段。