水中封闭球壳湿模态的正交性及其应用研究

　　研究水中封闭球壳的动力特性对于深潜器的设计有着重要的意义.近年来湿模态理论日益受到人们的重视,它的应用基础在于湿模态的正交性.关于壳体湿模态正交性的研究目前只见到圆柱壳[1].本文基于势流理论和弹性薄球壳的振动方程,利用自伴随微分算子和球函数特性证明了浸没在无限空间深水中的封闭球壳湿模态的两个正交关系,并利用这个关系分析了水中球壳在径向动压力作用下的响应,实现了湿模态空间中运动方程的解耦,方便地得到了问题的解.

　　1　基本方程

　　图1所示半径为R的封闭薄球壳,浸没在不可压的理想流体中.在微幅自由振动下,流体的速度势函数可写成

　　式中,i=(-1)1/2;ω为水中球壳的固有频率.由势流理论,Φ应满足Laplace方程

　　无限空间流场的边界条件和液固交界面的相容条件分别是

　　式中w(θ,φ)为球壳中面径向位移的幅值.由方程(1)和(2)可解出^[2]

　　是缔合Legendre函数;a是任意常数.将式(3)代入式(2)中第2式,利用Pml(cosθ)的正交性有

　　式中,h为壳的厚度;K=Eh/(1-υ2);E,υ和ρs分别是材料的弹性模量、泊松比和密度;q是作用在壳中面上的液动压力(径向)幅值,

　　式中,[L]为算子矩阵,{δ}^T=(u,v,w);[M]为总质量阵,它包括球壳的质量和附连液体质量m-(θ,φ),令m0=ρshR²/K,则有

　　从上式可看出,m-和w是耦合在一起的.方程(8)构成了广义特征值问题.

　　2　湿模态的正交性

　　设{δ}i和{δ}j是式(8)的任意两组特征向量函数(模态),对应的特征值分别为ω2i和ω2j,当ω2i≠ω2j时,下列正交关系成立:

　　式中总质量阵加注下标是由于其中的附连液体质量m-与{δ}j中的wj是耦合的式(10).要证明上述正交关系成立,关键要证明[L]是自伴随微分算子阵,即有下式成立:

　　式中{δ}i和{δ}j是任意两个只要求满足球壳边界条件的向量.下面将证明式(13)成立.

　　对于一般线弹性壳体结构,控制方程可写成

　　式中,u~是结构的位移向量;f~u是相应的外载向量.若改变外载,对应的方程为

　　显然上式中(v~,f~u)表示第一种状态下的外力在第二种状态下的位移上所做的功,而(u~,f~v)则表示第二种状态下的外力在第一种状态的位移上所做的功,由功的互等定理,它们是相等的,故有:

　　这就是式(14),由此知L是自伴随微分算子阵.