无网格局部边界元法弹性力学问题应用研究

　　无网格方法采用一种与权函数有关的近似方案,使求解域上的某个点可以影响整个域上任何一点的力学特性,摆脱了网格的束缚[1～4]。边界元法采用基本解描述真实状态的位移、应力和应变场,具有求解精度高和降低求解问题维数的优点。但是,由于边界单元法在计算区域内一点的值时需要计算整个边界上的积分,并且形成的刚度矩阵是不对称、满秩的,因此其应用有局限性[4]。Zhu[2]等人采用在局部域上求边界积分方程,提出了无网格局部边界元法。这种方法集中了有限单元法刚度矩阵具有对称、带状、稀疏的特点,边界单元法降低维数的优点和无网格方法具有的无网格特性的长处。到目前为止,该方法已应用到位势问题和二维弹性力学问题中[2,4]。本文推导二维弹性力学问题的无网格局部边界元法的理论,将其用于典型算例,并就各参数选择进行了讨论。

　　1　无网格近似

　　基于Moving Least-square的近似的函数表达[1]

　　其中PT(X)是m次完备单项式基函数,系数向量a(x)使得对函数的局部近似误差为最小。定义加权离散模

　　其中wi(x)是节点的权函数,对所有在wi(x)的支持域内的所有x,有wi(x)>0,n是域内权函数wi(x) > 0的节点数。u∧i是名义节点值,通常它并不是未知试函数uh(x)的节点值。对a(x)求式(2)中J的驻值即可解出a(x)。则最后的表达形式

　　为节点yi的MLS近似的形函数。为了保证计算的局部性,选用高斯权函数

　　和四次样条权函数

　　其中di=‖x-xi‖是节点xi到点x的距离,ci控制权函数的形状,ri是权函数的支持域半径。支持域就是我们规定的使权函数满足无网格计算局部性的子域。通常取k= 1。

　　2　无网格局部边界元法

　　二维弹性力学问题的整体边界积分方程[5]

(6)

　　其中是x场点,y是源点。u*ij和t*ij分别是作为权函数的位移和面力基本解tj和uj分别为对应的面力和位移函数。类似整体边界积分方程,考虑域内的任意一个包含源点y的子域Ωs及其边界Ωs的类似边值问题,引入友解u~ij作为子域边值问题的基本解采用修正的基本解u~*ij=u*ij-u~ij,σ~*ij=σ*ij-σ~ij,则得出局部边界积分方程[4]

(7)

　　二维问题中一般子域选为中心在源点y的圆,这样可以很容易地求出友解。考虑源点y位于整体边界Γ上时的情况,积分方程变为

(8)

　　其中αij(y)是与整体边界Γ的几何形状相关的系数。解出二维弹性力学问题的修正基本解

(9)(10)

　　其中r是源点y到场点x的距离,μ是材料的剪切模量,r0是局部子域Ωs的半径,v-为名义泊松比