有限元法在特殊结构稳定性分析中应用

　　1　理论基础及问题概述

　　一些机械结构除应进行强度、刚度分析外,还应校核结构的稳定性.机械结构及零部件的稳定性与载荷大小、几何尺寸、材料性质(刚度)及约束情况等因素有关.在设计分析机械结构时,通常以载荷大小作为平衡稳定性的一种判据.由稳定性平衡到非稳定性平衡的分解点为临界平衡状态,对应的载荷称为临界载荷.分析机械结构及零部件平衡稳定性的关键是确定临界载荷.当所受载荷小于临界载荷时,便处于稳定平衡状态;反之,则处于不稳定平衡状态.

　　根据能量原理,机械结构处于平衡状态时,其总势能取极值,即

　　式中Π为总势能,U为结构应变能,V=-L,即外力势V等于外力功L的负值.

　　当Π用广义位移q表示时,δΠ= 0,将导致

　　式(1)或(2)是结构处于平衡的条件.但当总势能Π为极小值时,平衡是稳定的,而Π为极大值时,平衡是不稳定的.当Π为驻值时,结构处于临界平衡状态.

　　·δ2Π> 0,Π为极小,系稳定平衡状态;

　　·δ2Π< 0,Π为极大,系不稳定平衡状态;

　　·δ2Π= 0,Π取驻值,系临界平衡状态.

　　其中

　　为机械结构处于临界平衡的条件.

　　为确定机械结构的临界载荷,先列出用广义位移表示的内含临界载荷的总势能Π的表达式,再代入式(3)中即可得到临界载荷的计算式.对于有n个自由度的机械结构,总势能的二次变分可以写成以二阶导数为系数的二次形式

　　故临界平衡条件又可写为

　　结构一般为无限自由度系统,但是在工程分析中可简化为n个自由度,用能量法近似确定临界载荷和相应的失稳形态.对于有限自由度系统,刚度矩阵为

　　式中[Ka]为线性刚度矩阵, [Kd]为微分刚度矩阵.

　　整个系统的势能为

　　式中u为有限自由度单元的节点位移.

　　当系统处于稳定平衡状态时,系统应该满足

　　式中ui为第i个单元的节点位移.式(8)还可以写成

    式中Pa为系统所受外界载荷.若使式(9)成立,必须满足以下条件:

    式(10)仅当Pa为某些特定值时成立.令

　　式(10)可表示为| [Ka]+λi[Kd] |= {0}.式中Pcri为系统失稳的临界载荷,λi为特征值.

　　对于实际系统来说,系统临界失稳载荷Pcri为一组固定值,不随外界载荷变化而变化.实际工程中,一般只求出最小的临界载荷,即对于有限单元的系统来说,只求出第一阶特征值λ,便可以求出最小临界载荷.