统计线性化在工程中的应用

　　引言

　　对于非线性振动问题,我们根据非线性项的强弱,把它们划成两类,第一类为弱非线性问题,另一类为强非线性问题。在实际工程中,我们所遇到的很多是强非线性问题。而在处理这个问题时,由于问题的复杂性,我们经常把它作弱非线性,甚至仅作简单的线性化处理。因此,实际的观测结果与理论计算的结果不一致,有时这个问题还会显得较突出。现在的非线性理论在处理强非线性振动方面还有待提高。下面,就介绍一种处理强非线性振动较为有效的方法——统计等效线性化方法。

　　由于统计等效线性化方法不受非线性强弱的限制,因而是求解非线性系统随机振动时常用的方法。

　　目前,统计等效线性化方法主要有喀菲方法、爱温-杨方法、爱-乌方法等。根据机械系统的特性,我们可以假设弹性元件的弹性力只与该元件的变形有关,每个阻尼元件的阻尼力只与该阻尼元件的相对速度有关。这样可以大大简化计算步骤,使统计线性化方法更利于实际应用。

　　1　基本理论[1-5]

　　设有一n自由度的弹性元件与阻尼元件为并联关系的非线性振动系统,各惯性元件的惯性分别为m1,m2…mn,作用于系统的激振力{F(t)}=[F1(t),F2(t),…Fn(t)]T是零均值的n维联合高斯过程矢量。并且不考虑各自由度间的耦合作用,则在惯性坐标系x1,x2…xn中,此系统的运动方程为:

　　式中[M]=diag[Mi]——系统在坐标系x1,x2…xn中的惯性矩阵;

　　Gi(X,X。)——系统作用于mi的弹性力与阻尼力之和;

　　Fi(t)——作用于mi的激振力。

　　设坐标x1,x2…xn和坐标之间z1,z2…zn的变换式为

　　式中[A]是满秩矩阵。对于一般的机械振动系统来说,变换矩阵[A]是存在的,理由如下:对于一般的机械振动系统,若将其离散为n自由度的离散系统,则此系统的空间状态可用各质量的绝对坐标x1,x2…xn来描述,但由于系统的任意位移都是由于弹性元件的变形引起的,因而,只要确定了各弹性元件的变形量z1,z2…zn,则系统的位移亦即空间状态就完全被确定。这就表明,坐标x1,x2…xn和z1,z2…zn都可惟一的确定系统的空间状态,因而,他们之间必然存在着变换矩阵[A].

　　将(2)式代入(1)式中,得到相对坐标z1,z2…zn表示的系统运动微分方程。

　　式中,[Ke]和[Ge]分别是等效线性刚度矩阵和阻尼矩阵。

　　如果{F(t)}是平稳的、相互独立的平均值为零的高斯随机过程矢量,则{X(t)}和{X。(t)}也是相互独立的、零均值的平稳高斯过程矢量。又均值为零的平稳高斯过程矢量经线性变形后仍为零均值的平稳高斯过程矢量。于是,对于(3)式和(5)式,可以直接应用已有的结果,因而