油气井杆管柱动力学基本方程及应用

　　1　前　言

　　杆管柱是油气钻采工程中最重要的下井工具。油气井杆管柱在充满流体的狭长井筒内工作,在各种力的作用下,处于十分复杂的受力、变形和运动状态。对油气井杆管柱进行系统全面、准确的力学分析,可以达到如下目的:(1)快速、准确、经济地控制油气井的井眼轨道;(2)准确地校核各种杆管柱的强度,优化杆管柱设计;(3)优化油气井井身结构;(4)及时、准确地诊断、发现和正确处理各类井下问题;(5)优选钻采设备和工作参数。

　　自本世纪50年代以来,针对油气井杆管柱的某些特殊问题已进行了较广泛、较深入的研究,发表了数以百计的学术论文。特别是“七五”和“八五”期间国家组织的对定向丛式井和水平井的科技攻关,使我国的油气井杆管柱力学研究水平大大提高。但所有的研究工作都是基于某项特殊需要而进行的,未形成统一的理论,对某些问题如动力问题和几何非线性问题研究较少,为此需要对杆管柱动力学问题进行系统的研究,建立统一的理论。

　　本文通过对油气井杆管柱进行力学和运动分析,建立了用于对油气井杆管柱进行各种力学分析的几何方程、运动平衡方程和本构方程。最后,简要介绍了这些基本方程在石油钻采工程中的应用。文中采用了如下基本假设:(1)杆管柱处于线弹性变形状态;(2)杆管柱横截面为圆形或圆环形;(3)略去剪力对杆管柱变形的影响。

　　2　几何方程

　　设杆管柱变形线任意一点的矢径为r=r(l,t),其中l和t分别为钻柱变形前的弧长和时间变量。自然曲线坐标系为(et,en,eb),其中et,en和eb分别为杆管柱变形线的切线方向、主法线方向和副法线方向的单位向量,参见图1。若用s=s(l,t)表示杆管柱发生位移和变形后的曲线坐标,由微分几何可知

　　式(1)、(2)中Kb和Kn分别为r点的曲率和挠率。

　　3　运动平衡方程

　　取杆管柱微元受力(图2),运动状态(图3),其中F表示杆管柱的内力,h表示单位长度杆管柱上的外力,M表示杆管柱的内力矩,m表示单位长度杆管柱上的外力对杆管柱中心O2的矩,H表示单位长度杆管柱对井眼中心O1的动量矩。通过受力分析,建立运动平衡方程

　　式中　A为杆管柱的截面积,ρ为杆管柱材料密度,t为时间,Ω为杆管柱绕井眼中心公转角速度矢量,ω为杆管柱自转角速度矢量,Io为单位长度杆管柱绕自身轴线的转动惯量,Ro为杆管柱外半径,Ri为杆管柱内半径,ro为井眼中心的矢径。

　　4　本构方程

　　设杆管柱的抗弯刚度为EI,抗扭刚度为GJ,忽略剪力的影响,则本构方程为