裂纹梁结构静力与动力分析的p型自适应有限元方法

　　基于静力和动力特征的裂纹检测方法具备反映结构整体性质的特点,展示出传统的无损检测方法所不具备的全局损伤检测能力,成为近几十年来研究的热点^[1-2]。

　　目前存在多种裂纹梁结构的静力和动力建模方法,如摄动法^[3]、半解析法^[4]、传递矩阵法^[5-6]、动态刚度法[7]和有限元法^[8-10]。其中有限元法能够适应各种简单和复杂结构,同时具有标准化的分析步骤,因而受到重视和广泛应用,但有限元法中梁单元大多采用三次形函数,若要达到较高的计算精度,则不得不采用更多的单元和更精细的网格,这对于以正问题为基础的裂纹辨识问题意味着更多的计算成本。

　　通常有限元中提高计算精度的途径包括以下几种: h方法、p方法和h-p方法。研究表明, p方法在收敛速度上要优于h方法^[11],然而,它在实际使用中,若采用普通的高阶多项式函数作为附加度的形函数,容易导致刚度和质量矩阵出现数值积分稳定性问题。

　　基于此,本文采用Legendre正交多项式作为附加高阶形函数,通过符号处理软件MAPLE推导了梁单元的刚度和质量方程,给出了其显式积分表达式,避免了数值积分带来的稳定性问题。同时,根据断裂理论和能量原理获得了裂纹的等效扭转刚度,并将其转化为能够集成到总刚度矩阵中的单元刚度矩阵。为了验证上述方法的有效性,本文还进行了数值仿算和实验验证。

　　1 裂纹梁的p型有限元理论

　　考虑一矩形截面的裂纹梁结构,如图1所示,裂纹面与梁的中性轴垂直,本文研究仅限裂纹梁的横向弯曲运动。为了便于分析,将裂纹梁从裂纹截面处分开,自然地形成2个无损梁单元和1个无长度裂纹单元,无损梁单元假定满足Euler梁运动方程并采用p型梁单元,裂纹单元利用扭转刚度进行等效。下面分别给出p型自适应梁单元和裂纹单元的构造过程。

　　1.1 p型自适应梁单元

　　依Hamilton原理和Galerkin有限元法,梁单元的刚度和协调质量矩阵分别如下^[12]:

　　其中:L为单元长度;E为弹性模量;I为截面弯曲惯性矩;ρ为材料密度;A为截面积;N为梁横向位移的形函数向量。

　　梁单元的横向位移函数u表示为

　　其中:u1、θ1、u2和θ2分别为梁单元2个节点的位移和转角;φ1-φ4为常规梁元的三次埃尔米特形函数;ui(i>4)为附加广义自由度;φi(i>4)为相应的高阶形函数,下面给出其在如图2所示的局部坐标系下基于Legendre型多项式的表达式:

　　i> 4. (4)

　　式中:j!! =j(j- 2)…2或1且0!! = (- 1)!! =1; [·]表示取整数部分;可以看出,φi(i>4)在两个端点位置为零,满足连续性条件。