基于小波状态空间法的时变结构瞬时频率识别

　　0 引言

　　工程中,时变结构的动力学参数识别问题在理论和信号分析技术上存在很多困难,一直以来都是参数识别领域的难点。国内外对时变结构参数识别的研究还处于初步阶段,现有的一些识别方法多是基于Hilbert变换(HT)[1-2]、状态空间法[3-5]和小波变换[6-7],总体说来,不成熟,大多还不能被工程实际应用。2005年,史治宇等[7]运用Daubechies小波识别了时变系统的物理参数。但该法在进行微分方程两次降阶的同时需要求解一阶、二阶小波连接系数,算法的难度大,精度受限制。

　　针对这一问题,本文先将时变系统的振动微分方程转到状态空间,以实现微分方程的一次降阶,再对系统的自由响应信号进行Daubechies小波变换,利用尺度函数的正交性,最终实现了微分方程向代数方程组的转化。只需求解代数方程组,就能识别出不同时刻点等效的系统转移矩阵,再对系统矩阵进行特征值分解,就可得到时变结构的瞬时频率。

　　1 运动方程

　　一个p自由度的线性时变动力学系统的自由振动可以表示为

式中,M(t)、E(t)、K(t)分别为pXp的时变质量、阻尼、刚度矩阵;x(t)为pX1的位移向量。

　　对于振动系统,输出向量可以是加速度、速度、位移的自由组合:

　　其他力学参数不随时间变化时,时变结构的三阶频率识别结果如图8所示。

式中,y(t)为n0X1的输出向量;n0为响应的输出个数;Ca、Cv、Cd分别为n0Xp的加速度、速度、位移的输出影响矩阵。引入2pX1状态向量:

　　将式(3)代入式(1)、式(2),得下面一阶状态空间方程:

式中,A(t)为2pX2p的状态转移矩阵;C(t)为n0X2p的输出影响矩阵。系统的质量、刚度、阻尼矩阵与状态空间方程组的系统矩阵之间的关系为

　　2 线性时变系统参数

　　2.1 状态方程组向线性代数方程组的转变

　　采用消失矩为N的Daubechies小波(记为dbN小波),在尺度因子j上将状态向量z(t)利用尺度函数进行小波分解:

　　式中,αk为小波系数;φ(.)为小波尺度函数,αk和φ(.)的维数可以由z(t)简单确定;k为平移因子。

式中,βk为小波系数。

　　尺度函数对时间的一阶导数为

式(14)两边同时乘以U(r-l),作内积可得

n-1时,连接系数才是非零的值。求解式(16),可得等效的系统状态转移矩阵A(t)和输出影响矩阵C(t)。

　　2.2 结构瞬时频率识别

　　对状态转移矩阵A(t)进行特征值分解:

　　3 数值实例

　　3.1 算例1

　　可以考察算法对悬臂梁实际工程结构(较多自由度系统)的适用性。悬臂梁长2m,宽0.05m,高0115m,钢材密度7850kg/m³,不随时间变化。初始条件如下:所有自由度初始位移为0.02m,速度和加速度都为零。系统的响应使用Newmark-B法求得,其中采样周期$t为4.8828X10^-4(1/2048)s,小波变换选用db3小波,尺度因子j=11。算例中结构的质量、刚度矩阵由有限元方法得到(梁从根部顺次均分为5个单元),阻尼采用比例阻尼,结构的总体质量、刚度、阻尼矩阵可表示为