带有任意边缘裂纹的自由圆板流固耦合动力特性

    0 前言

    当结构与液体接触时，其振动特性的获得需要求解流固耦合振动问题，该类问题广泛存在于液体容器、闸门、舰艇壳体的局部振动等领域。另外，由于腐蚀、疲劳等原因，结构出现裂纹后，动力特性也会发生改变。研究结构的流固耦合动力特性和裂纹结构的动力特性对结构设计、设备的安全运行等具有重要的意义。鉴于板在工程领域的广泛应用，国内外学者对裂纹板的干模态、完整板的湿模态进行了丰富的研究。

    有限元法[1-2]和 Rayleigh-Ritz 法[3-6]是裂纹板振动分析的常用方法。采用 Rayleigh-Ritz 法，LEISSA等[4]结合 WILLIAMS[7]提出的角函数分析了 V 形槽对自由边界圆板自由振动的影响，HUANG 等[6]计算了任意位置边缘裂纹对四边简支、四边自由矩形板固有频率和振型的影响。对于完整板的流固耦合振动问题，MONTERO 等[8]基于干、湿模态等同的假设，利用板的干模态振型近似计算了板在水中的固有频率。文献[9-14]中研究人员采用 Hankel 变换，对多种条件下的圆板和环形板的流固耦合动力特性进行了丰富的研究。ZHU[15]将 Rayleigh-Ritz 法引入到流固耦合系统的振动分析中，通过求解特征值问题获得各阶模态对应的固有频率和振型参数[10-12, 16]。王少波等[17]基于有限元分析了与真实流体接触的板振动问题。

    在工程实践中，与水体接触的结构在长期的压力波动等载荷作用下也会出现裂纹，比如水轮机叶片。此种情况下，结构振动特性的获得需要同时考虑水体和裂纹的影响，这方面的研究较少。石焕文等[18-19]在干、湿模态等同假设的基础上，采用瑞利积分获得水体的量纲一附加虚质量增量，并通过迭代计算了周边固支条件下裂纹板流固耦合振动的固有频率。

    本文在水体无粘、无旋、不可压的假设条件下，基于 Green 函数法获得了水体附加质量密度，并通过 Rayleigh-Ritz 法获得流固耦合振动系统的特征矩阵，进一步得出裂纹圆板湿模态对应的固有频率和振型。与有限元分析进行对比的结果显示，本文提供的方法是一种有效而且精度较高的计算方法。应用此方法，分析水体对带有边缘裂纹的自由圆板动力特性的影响。

    1 薄板流固耦合振动计算方法

    本文所考虑的振动系统如图 1 所示，半径为 R的裂纹圆板置于无限大障板中，单面临水，水体区域无限大。裂纹位置如图 2 所示，裂纹起始于圆板边缘，并沿与经过起始点的直径夹角为 α 的直线向内延伸。图 2 中，O'为圆板中心，dc为裂纹深度，柱坐标系 Orθz 的原点位于裂纹尖端，裂纹所在的直线 θ=0°，原点到板边界上任意一点 P 的距离