Bernoulli-Euler梁横向振动固有频率的轴力影响系数

　　杆系结构自由振动的固有频率反映了结构的动力特性，一方面是结构抗震和减震设计的依据;另一方面是动力学计算如振型叠加法的基础。结构所承受的轴向力所产生的二阶效应将改变结构的刚度，从而影响其固有频率[1]，因此如何准确和高效地获取承受轴力作用的杆系结构自由振动的固有频率有着十分重要的意义。为此，本文对于准确获取杆系结构的固有频率以及轴向力对于固有频率的影响进行研究。Timoshenko[2]应用微分方程法对于不同边界条件下不承受轴力的 Bernoulli 梁横向振动进行了深入研究，同时探讨了承受轴力的简支梁自由振动问题。李俊[3]应用传递矩阵法分析了非对称 Bernoulli-Euler 薄壁梁的弯扭耦合振动。与常规的位移法不同，袁驷[4]使用力法求解杆系结构自由振动问题。楼梦麟[5]应用模态摄动法讨论了预应力对梁的横向振动特性的影响，但未给出明确的规律。文献[1―5]均非采用有限元方法来分析杆系结构自由振动问题。

　　当使用有限元方法来分析杆系结构自由振动问题时，常规的有限元方法采用低阶多项式(如沿用静力分析中梁单元的三次多项式)作单元上的形函数，这将导致固有频率的线性特征值问题，精度较低。Hashemi[6]采用动态有限元(DFE)即用含有频率变量的形函数代替静态形函数推导刚度阵，并求解结构的振动问题。Williams[7―8]和 Banerjee[9]分别采用动态刚度矩阵(DSM)，并使用著名的 Wittrick-Williams 算法[7]求解梁的自由振动问题。动态刚度矩阵的出现使得分析轴力对于梁单元自由振动固有频率的影响成为可能。Timoshenko[10]提出了利用放大因数来考虑轴向压力对梁杆静态挠度的影响，并给出近似公式为 1/(1−P/Pcr)，其中 P 为轴压力，crP 为第1 阶欧拉临界力。并指出当 /crP P <0.6 时，该近似式的误差小于2%。显然，Timoshenko 的放大因数法对梁杆静态挠度分析是极为便捷和有效的，该放大因数对梁杆横向振动的固有频率是否同样有效? 这将是本文要着重探讨的。

　　严格来说，动力刚度法(DSM)并非由经典有限元方法推导而来，因为该方法并非通过单元的形函数来推导刚度阵。本文研究方法既非利用传统有限元插值理论中的近似静态形函数，也不直接使用动力刚度法(DSM)推导单元动态刚度阵，而是介于两者之间。首先将寻找等截面 Bernoulli-Euler 梁单元精确动态形函数，使之能用经典有限元得出和动力刚度法(DSM)相同的精确动态刚度阵，并将建立以精确形函数表达的精确刚度阵有限元格式;为了考虑轴向力对于梁单元横向振动固有频率的影响，仿照静态挠度的 Timoshenko 放大系数，提出固有频率的轴力影响系数近似计算公式，并验证该近似公式的准确性和实用性。