带孔圆柱壳轴压屈曲与孔形优化设计

　　曲面薄壳结构因其质量小、承载能力大的特点在航空航天、船舶、建筑等领域得到了广泛应用。为了各种工程需要，这些薄壁曲面壳体上常常开有各种形状的孔洞; 这样会破坏结构的完整性，导致孔周应力集中、结构疲劳寿命下降等一系列问题。如何通过寻找曲面最优开孔形式来改善结构性能，具有重要的工程实践意义。然而，不同于以往的平面内曲线[1]、三维结构截面形状[2]或自由曲面形状优化设计[3]，薄壁曲壳上的孔形优化设计问题要求优化过程中孔周边界曲线上的任意一点始终位于给定的曲面结构上。针对这一问题，张卫红等人[4]提出了一种参数映射的方法，通过曲面与其参数平面之间的映射关系将形状设计变量直接定义在参数平面上，从而解决了这一难点。但这些研究中只考虑了结构的强度与刚度性能，而忽略了结构稳定性这一对于薄壳结构非常重要的性能指标[5]。

　　针对带超椭圆孔圆柱壳这一特定研究对象，本文采用参数映射法研究了圆柱壳长径比、径厚比、孔的位置等参数对其屈曲失效载荷的影响，并在此基础上建立了考虑结构稳定性的带孔柱壳的孔形优化设计模型，最后通过优化设计实例验证了这种方法的有效性。

　　1 带孔柱壳参数映射建模

　　参数映射法是一种解决位于曲面上的孔洞形状优化设计问题的有效方法，它通过曲面与其参数平面之间坐标点一一对应的映射关系自动满足了孔洞始终位于给定曲面上的几何约束[4]。

　　1. 1 圆柱曲面参数方程的建立

　　以半径为R，高度为L₀的带孔圆柱壳为研究对象，孔的中心距圆柱壳底面的距离记为L0，如图1所示，其中深色区域为设计域。

　　建立整个圆柱壳面的参数方程:

　　1. 2 平面孔形设计变量的定义

　　在曲面内部坐标s-t 平面上，建立超椭圆孔轮廓曲线的参数方程:

　　式( 2) 中，r1、r2分别为超椭圆的长短轴半径，n 为超椭圆的幂次。当 n =1 时，平面孔形退化为椭圆。

　　1. 3 空间孔形参数方程的建立

　　这样，就能通过曲面与参数平面之间的映射关系式( 1) 将平面孔洞边界曲线映射成位于曲面上的空间孔洞边界曲线:

　　实际上，曲面与其参数平面之间的映射关系也可以应用到其上离散节点之间的对应关系，如图2所示。

　　2 开孔柱壳优化设计

　　2. 1 优化模型

　　极限屈曲载荷最大为优化目标，孔的面积为设计约束，则其数学表达式为:

式( 4) 中，ri为定义在 s - t 参数平面上的第 i 个设计变量，上下界分别为 r珋i和 ri。Pcr为屈曲载荷。Area为笛卡尔坐标系中带孔圆柱壳总面积，约束上限为Area。