粘弹性复合结构动力响应的精细积分解法

　　近年来,各种高强度的聚合物、复合材料和人造纤维等,由于具有某些传统材料所没有的优点,已被广泛地应用于机械、桥梁、建筑及航空等各种工程领域。这些高强度的人造纤维具有粘弹性特性,使得问题的分析十分复杂。目前,有关弹性-粘弹性复合结构振动分析已有许多研究[1~5],取得了很大进展。利用扩阶状态变量,提出了一种弹性-粘弹性复合结构动力响应的分析方法,然后利用精细积分法求出系统动力响应的数值解。所提方法简便、易用,物理意义明确,对各种激励及任何自由度的弹性-粘弹性复合结构都适用。

　　1　系统动力学方程

　　对于n自由度的弹性-粘弹性复合结构,其动力学方程为:

　　式中:m、c、ke、kv———分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、弹性刚度矩阵及粘弹性刚度矩阵;

　　f(t)———激励列阵;

　　G(t)———粘弹性材料的松驰函数,当t <0时,G(t) =0;并假定x(-∞) =0。初始条件为x(0)、.x(0)。

　　现采用标准流变学模型,松驰函数为[2,3]:

　　式中:ar、br　(r =0,1,2,…,N)———粘弹性材料流变模型的系数。

　　将式(2)代入式(1),并令:

　　则式(4)和式(5)合并形成扩阶状态方程:

　　其中:I是n阶单位矩阵;M和K是n(N+2)阶方阵;F是n(N+2)列阵;0是n阶零列阵。

　　2　精细积分法计算动力响应

　　式(7)可进一步化为状态方程:

　　给定结构运动的初值x(0),.x(0)　(Zr的初值为零),选择适当的数值方法(例如:Runge-Kutta法,精细积分法等),即可解出结构的位移x、速度.x等动力响应。

　　下面就利用精细积分法来计算结构的动力响应。由文献[6,7]知,式(11)的响应为:

　　称为状态转移矩阵。

　　2.1　状态响应的递推公式

　　在实际计算中,因为B(t)比较复杂,式(13)的卷积积分难以得到解析结果。因此,不得不利用数值积分。令t = iT,T是离散间隔,从式(13)得:

　　当E可积(即有解析表示式)时,式(16)为精确离散积分式,该格式自然是无条件稳定的,计算解就是精确解,且任何时刻的值可一次求出,计算效率很高。当E因B(t)项而不可积时,可将B(t)在离散区间(iT,(i+1)T)内做近似处理,使其成为可积形式。虽然它影响了系统的计算精度,但由于E是精确的积分格式,由此写出的积分格式:

　　也是精确的积分格式。系统的误差不是来自积分格式,而是来自对B(t)的近似,这是与通常的近似积分格式的最大不同。

　　2.2　状态转移矩阵的精细计算