基于材料参数随机性的粘弹性结构振动特性分析

    0　引　言

    传统的工程结构分析,通常是采用确定性的力学模型进行。在这类模型中,所采用的力学结构计算参数是一些确定量。在具体的分析与计算过程中,本质上是用某种意义上的均值参数系统代替原来的结构系统。现有研究表明,只有在本原系统关于这类模型系统的变异性较小时,上述分析才能给出较为符合实际的结果。否则,上述分析难以在均值反应的意义上把握本原系统的反应。

    随机结构分析是工程结构分析理论的基本发展方向之一。关于随机结构的动力学分析,李杰[1]、陈塑寰[2]和张湘伟[3]对此都有专门的论述。文献[4]对1987年至1998年的随机结构的动力学分析的研究成果进行了综述。基于结构随机性的粘弹性结构动力学分析则不多见。文献[5]研究了考虑随机参数之间关系的粘弹性杆的振动问题,考虑的动力学方程是常规MCK形式,并且认为刚度和阻尼的随机性是由于杆的直径的随机性引起的。

    本文针对不同的粘弹性模型,考察了材料参数随机性对固有频率和模态损耗因子影响。采用直接Monte Carlo法进行分析,分析中基本随机变量(输入随机变量)均认为是服从正态分布的随机变量,用变异数作为比较随机变量离散度的判据。随机变量的分布采用统计学中频数的概念来描述。

    1　粘弹性材料参数随机性处理的必要性

    粘弹性材料的力学性能是非常复杂的,不仅随着频率的变化而变化。而且随着温度和湿度等环境因素的变化而变化。有时为计算简单,采用常复数模型,此时仅由于材料的频变性质就使得无法得到准确的表达。即使是应用频变模型,如分数导数模型[6]和标准流变学模型[7],也仍然是近似的拟合,而且欲达到满意的拟合效果,必然要求很高的模型阶数。

    无论采用何种模型,与实际材料的力学性能都存在着一定的偏差,这里不妨认为这种偏差具有随机性。为了更清晰地说明粘弹性材料弹性模量的这种不确定性,这里给出开林油漆厂生产的阻尼涂料的一些数据[8](见表1)。

    2　基于随机性的粘弹性结构振动特性分析

    拉氏域内粘弹性结构在零输入时的有限元自由振动方程为

    (s²[M]+E(s)[K₀]){x(s)} =0         (1)

    一般而言,式(1)是一个高次特征值问题,直接求解是比较烦琐的。令

    这样,就将式(1)所示的高次特征值问题化为了求解式(3)所示的线性特征值问题和式(2)所示的高次代数方程问题。

    求得特征值后,就可以得到相应的固有频率和模态损耗因子。第i阶特征值si与第i阶固有频率Ωi和模态损耗因子ηi的关系如下