异形变厚度板的自由振动

    异型板的自由振动是工程中的基本问题之一。三角形板是异型板的代表,而且三角形板在航空、机械、造船和建筑行业中常会遇到,这些板的动力特性的研究是很有必要的。本文试图对任意的三角板取一组适合固定、简支、自由任意组合的边界条件的振型函数,借助电子计算机计算出结构设计所需要的若干个频率。给出常见边界条件下三角板自振频率参数的表格,便于查算出形状相同、支承条件相同,但几何尺寸和物理参数不同的三角板的自振频率。在等厚度三角板自由振动分析的基础上,研究了变厚度三角板的自由振动。

    1　等厚度三角板的求解

    1.1　振型函数

    求解三角板自振频率时,取板的振型函数是在梁的振型函数基础上加以修正和组合。建立如图1所示的坐标系,取振型函数为

式中,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1是由边界条件决定的常数,k=k0l/a,k1=k0la/(b1+b2)x,a0是远小于a的常数。

    1.2　广义特征值问题

    为形成广义特征值问题,需计算以下几个偏导数。

式(5)可以写出广义特征值问题的矩阵形式为　　KA=λ²MA,

式中,称为自振频率参数,为特征向量,K是m×n阶方阵,其元素

N是n取的最大值。

    把K称之为广义刚度矩阵,M是广义质量矩阵,而且M是对称正定的,K是对称的。在计算K和M时可以仅计算上三角或下三角。本文对各种情况下形成的广义特征值问题均采用经Househoulder变换后由带原点移动的QL法求解。

    1.3　等厚度三角板的自振频率参数

    应用以上的理论对等厚度三角板的自由振动进行分析计算。所采用的算例是至少有一个基频所对应的频率参数有资料可作为比较的那些三角板。在表1中列出了有文献可以比较的5种边界条件的三角板的自振频率参数或自振频率结果,可以看出本文的计算结果和用其他方法[1,2]得到的结果是很接近的。

    在求解特征方程时,频率参数作为特征值可以解出,同时作为特征向量各系数Amn的比值也已解出,把这些系数的比值代入假定的振型函数即得近似的振型函数。

    2　变厚度三角板的求解

    在计算变厚度三角板的自由振动时,广义特征值问题形式不变。对变厚度三角板取如图2所示的坐标系。为了简化计算,这里仅限取板的厚度沿x方向呈线性变化,而沿y方向是等厚度的。这样,厚度仅是x的函数。在x=0处板的厚度是h0,在x=a处的厚度是h0(1+α),在x处厚度为hx=h0(1+αx/a),其中α为厚度系数。

    按着和等厚度三角板同样的步骤可以导出广义特征值问题　　MA=λ²MA。