无限大板椭圆孔的分支裂纹的边界元分析

　　由于孔边应力集中,孔边很可能起源裂纹.因此,很多研究者专注于孔边裂纹问题的研究[1-5].

　　本文用边界元方法研究内部压力作用下无限大板中源于椭圆孔的分支裂纹.该边界元方法由Crouch与Starfield[6]建立的常位移不连续单元和笔者最近提出的裂尖位移不连续单元[7]构成.在该边界元方法的实施过程中,左、右裂尖位移不连续单元分别置于裂纹的左、右裂尖处,而常位移不连续单元则分布于除了裂尖位移不连续单元占据的位置之外的整个裂纹面及其他边界.对这一问题的数值研究结果进一步证实本数值方法对计算无限大板中复杂裂纹的应力强度因子的有效性,可以揭示裂纹体几何对应力强度因子的影响.

　　1　数值方法

　　平面弹性裂纹分析的边界元法[8]由常位移不连续单元[6]和笔者最近提出的裂尖位移不连续单元[7]构成.

　　1·1　常位移不连续边界元法简介[6]

　　无限大平面体中,在位置|x |

　　由于位移ux和uy沿坐标x和y方向为正,故位移不连续量Dx和Dy沿图1所示方向为正.

　　此问题的解答是由Crouch与Starfield[6]获得的,位移场和应力场为

　　其中G和v为材料剪切模量和泊松比,函数F2~F7见文献[6].Crouch与Starfield[6]利用方程(1)和(2)建立了常位移不连续边界元法.

　　1·2　裂尖位移不连续单元

　　文献[6]基于无限大平面体中常位移不连续的分析解[6]提出了裂尖位移不连续单元[7](可分为左、右裂尖位移不连续单元)以模拟裂尖附近的应力奇异场.下面给出左裂尖位移不连续单元的基本公式.

　　图2为左裂尖位移不连续单元的示意图,其位移不连续函数可取为

　　式中:Hs和Hn分别为裂尖单元中点处的切相和法向位移不连续量.裂尖位移不连续单元与常位移不连续单元具有相同的未知量———两个,但由式(3)定义的位移不连续函数可以模拟裂尖附近的位移场,从而可以模拟裂尖附近的应力奇异性。

　　基于无限大平面体中常位移不连续的分析解[6],根据微积分学的理论易于求得由式(3)定义的裂尖位移不连续函数引起的在点(x, y)处的位移场和应力场:

　　式中:函数B2(x,y) ~B7(x,y)可见文献[7].

　　比较式(4)和(5)与式(1)和(2)可看出,由裂尖位移不连续单元引起的位移场和应力场与由常位移不连续单元引起的位移场和应力场具有相同的形式,只要将式(1)和(2)中的Fi(x,y) (i =2,3,…,7)替代为Bi(x,y) (i=2,3,…,7),将Dx和Dy分别替代为Hs和Hn即可.这使得该边界元法容易实施.

　　对右裂纹尖端有与式(3) ~ (5)类似的方程,这里不再列出.