弹性地基上的矩形薄板自由振动的一般解

　　1　微分方程的解

　　弹性地基上的矩形薄板(如图1)横向自由振动位移函数的微分方程为

　　2　一般解的建立

　　利用以上各种特解,本文选取适用于满足任意边界条件和角点条件的解为

　　(8)式的第一部分可满足y=0和y= b两个边的边界条件;第二部分可满足x=0和x= a两个边的边界条件。wij可满足四个角的角点条件。

　　(8)式共有4m+4n+12个积分常数。其中每个边有二个边界条件:即挠度或等效剪力,斜度或弯矩应分别等于边界的已知值。在每个边界条件所建立的方程式中,将非正弦函数均展成正弦级数,根据正交性可得到4m+4n个方程式。另外,每个角有三个角点条件:即挠度或反力,角两边的斜度或弯矩应分别等于相应的已知值。故又有4×3个方程式。令全部方程式系数矩阵行列式等于零即可求得振动的频率。各种有关的非正弦函数展成的正弦级数公式以及级数求和公式均见于文献[5]。

　　3　算例

　　以两相邻边固定另两边自由的板为例。边界条件和角点条件分别为

　　再由(10)式的第一、三式,并将其中非正弦函数均展成正弦级数,利用正交性以及应用级数求和公式于a11系数中的级数可得

　　参考文献:

　　[1]　Gorman D J. Free Vibration Analysis of Rectangular Plates [M], Elsevier, 1982.

　　[2]　Huang Yan. A general analytical solution for elastic vibration of rectangular thin plate [J]. Appl. Math. and Mech, 1988, 9 (11), 1057~1065.

　　[3]　张福范,黄晓梅.弹性地基上的自由矩形板[J].应用数学和力学. 1984, 5 (3): 345-353.

　　[4]　卡尔曼诺克MP.薄板结构力学[M].北京:建筑工程出版社, 1950.

　　[5]　黄炎.弹性薄板理论[M].长沙:国防科技大学出版社, 1992.

　　黄炎,刘大泉

　　(国防科技大学航天与材料工程学院,湖南长沙　410073)