考虑几何与压电非线性行为压电层合轴对称圆板的精确解

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　　1　引　言

　　近年来,随着航空航天,空间开发以及微机电系统(MEMS)等领域的发展和要求,对智能结构元件的灵敏度、测量精度和稳定性等性能的要求越来越高。在压电材料作为传感器和执行器的智能结构系统的分析中,绝大部分只考虑了线性压电理论和线性弹性理论[1]。一方面,当结构发生大变形时,必须考虑几何非线性因素的影响。另一方面,在强电场作用下,位移或激励力具有明显的非线性,根据线性压电效应得到的结果会产生很大的误差,必须考虑非线性压电效应的影响[2-3]。文[4-5]对几何非线性压电圆薄板进行了动/静力方面的分析。但同时考虑几何与材料非线性压电结构对其定量研究有很大的困难。文[3]对层合压电梁在强电场作用下非线性压电效应的弯曲进行了分析并给出了实验数据。文[6-7]考虑电致伸缩和电致弹性非线性效应下层合压电梁在强电场作用下的静态及动力进行了定量分析,文[8]对压电层合矩形板在非线性压电效应下的面内位移和弯曲进行了分析。

　　本文对轴对称压电层合圆板在强电场和机械荷载联合作用下的非线性静力行为。考虑材料的电致伸缩压电效应以及几何非线性影响,应用压电层合板理论导出轴对称压电层合圆薄板的控制方程。通过调整坐标轴的位置对控制方程进行简化,得到关于挠度和径向力的4阶非线性控制方程。再通过简单的积分并引入无量纲变量将控制方程等价地化为2阶非线性耦合微分方程组。利用幂级数法得到可移简支及夹支边界条件下强电场和均布荷载共同作用时的挠度、径向力及径向位移的幂级数精确解。通过对双、单压电晶片执行器的数值计算及分析,得到电场、外载对于位移、径向力的影响关系。

　　2控制方程

　　一般地,考虑半径为a,总厚度为t,有n层各向同性层合而成的圆板。设柱坐标系(r,θ,z)的坐标面(r,θ)在板平面内,且距离板的上表面距离为h0,z轴垂直于板面向下,坐标原点在板中心。设第k层厚为hk,处于z= zk和z = zk+1之间,则每层表面的z坐标值为

　　假设每层被完好地粘合在一起并略去粘合层的厚度。压电层的极化沿z轴方向。对于轴对称层合板,所有的位移及其导出分量独立于坐标θ。设沿厚度方向作用电场Ez及机械分布载荷q(r)。几何非线性轴对称应变和位移关系为[9]

　　其中

　　其中:ur(r)和w(r)分别是中面的径向位移和横向位移;ε0是薄膜应变矢量;ε1是弯曲应变矢量。这里,(·),r和(·),rr分别表示r的一阶和二阶导数。

　　考虑电致伸缩不考虑电致弹性的非线性压电效应本构方程为[10]