研究变形极值的参变量积分法

　　刚度设计是结构分析的重要任务,变形分析则是刚度设计的主要内容。刚度计算需要的是最大变形,因此,确定最大变形将是结构刚度设计的必要前提。纵观变形分析的种种方法,其功能或者是泛泛地研究一般变形或者是直接确定某指定位置上的变形。

　　工程结构中的最大变形往往不发生在已知位置,而是在任意的未知位置。因此,寻找一种既能确定最大变形发生的位置,又能方便快捷地确定最大变形,便成为本文的中心。

　　本文所及的方法借助于卡氏定理,从本质上抓住并有效地利用了虚拟力的待定位置)参变量。由于这一参变量既出现在积分限中,又显含于被积函数中,故有参变量积分之称。

　　1 参变量下的变形极值定理:

　　定理:对于给定结构,其最大变形Δmax总可以通过变形能U表示为

　　内力及其偏导数均为x,x₀的二元函数。极值发生位置x0由式:

式中各符号表示:

　　P₀—拟加广义力,或为力或为力偶;x₀)极值位置(P₀作用点的坐标);n)结构分段所划分出的子区间的最小数目,其数目最小之原则为使每段内力均连续、可微;a_i、a_i+1)子区间的左、右限,a₀=0、a_n+1= l;ix)截面对其中性轴惯性半径;μ—泊松比;k—截面系数;N(x₀)、M(x₀)、Q(x₀))x₀截面上的轴力、弯矩、剪力;N^-、N⁺)x₀截面的左、右极限轴力;M^-、M⁺)x₀截面的左、右极限弯矩;Q^-、Q⁺)x₀截面的左、右极限剪力。

　　且当求横向变形极值时,x₀由式

　　当求轴向变形极值时,x0由式:

　　令P₀=0确定,此时轴向极值确定如同(4)式。

　　当求最大转角时,x₀由

确定。此时有:

  （6）

　　如果ymax、H_max在已知位置取得,则x₀为已知,可直接将x₀代入(4)或(6)。如若考察极大、极小,当须考察的符号。为极大。(通常这一步是可以省略的。因刚度设计所需为绝对值最大)

　　定理证明:

　　从能量法知,结构的变形能

　　根据卡氏定理有:

　　由结构变形的连续及光滑条件知,结构在最大变形x0处应有:

　　如果x₀使Δ取极大,即Δ_max=Δ(x0),则式

　　实质上是一个参变量积分。这是因为被积函数中显含参变量x0,而且积分限也出现x0,x0作为拟加广义力的位置)参变量将成为确定极值的直接依据。