环板横向振动分析的三结点有限单元法

    0　前言

    环形板是一种简单而应用较广的基本构件,中间带有支承的各向异性环形板则比较复杂,对其振动特性的研究也相对较少。D.A.Verga等人[1]研究了中间简支的各向同性环板的振动;P.A.A.Laura等人[2]用Rayleigh-Ritz法研究了中间简支的各向异性环板的振动频率。但现有文献只是针对某种特定边界条件下环板振动的第一阶固有频率,而对其高阶频率没有考虑,其方法不能推广到其他边界条件下的各向异性环板。有限元法适于处理各种边界条件,但用常规的三角形或四边形单元去模拟环板,需要较多的单元,计算工作量大且精度差。

    本文构造了三结点环形单元,保证了单元之间变形函数及其一阶导数的连续性,仅用少数几个单元即可取得计算结果的前几阶有效数字,计算过程中使用理论推导与高精度数值积分方法相结合,使单元矩阵和最终结果的计算都比较精确。本文在求得环形板最低固有频率与振型的同时,求出了前五阶固有频率及其振型,这是目前文献中未曾报道的。

    1　有限单元法

    设所研究环形板的外径为b,内径为a;环板内缘横向约束弹簧的刚度系数为kt1,扭转弹簧的刚度系数为kφ1;环形板外缘横向约束弹簧的刚度系数为ktN,扭转弹簧的刚度系数为kφΝ(如图1)[3~5]。整个板被划分为N个环形单元,每个单元有三个结点(两端及中点),结点的两个自由度W、φ分别表示横向位移与转角,如图2所示。当环形板以某一自然频率ω_mn振动时,振动挠度可表示为

    ω(r,t) =W(r)cosω_mnt       (1)

其中　m,n分别是节圆和节径数。为计算方便,引入X=W/a,ξ=r/a将横向位移和径向坐标无量纲化。引入变量η=(ξ-ξ1)/s将单元域由[ξi_-1,ξi₊₁]线性变换到[η=-1,η=1],其中s=(a-b)/2Na。

设单元位移函数具有以下形式

    X=a₁+a₂η+a₃η²+a₄η³+a₅η⁴+a⁶η5        (2)

其中,广义坐标ai(i=1~6)可由结点位移Xi和结点转角φi=Xi′决定,上标“′”表示对ξ求偏导。由此得

对于(6),(7)式,六点的高斯积分法即可得到每个单元的刚度阵和质量阵,弹簧的刚度直接加到相应的自由度上。利用常规有限元的总刚集成法,可以得到

    ([K]-ω²mn[M]){qmn} = 0

　　选择矩阵迭代法和移轴技术求解由上式所得的特征值问题,即得环形板的自然频率和阵型。