悬臂梁大挠度问题的双参数摄动解

　　引　　言

　　钱伟长教授在文献[1]中,采用双参数摄动研究了图1所示的悬臂梁大挠度问题,用于处理宁波甬江大桥施工弧长计算及桥面坡度等应用问题·梁的大挠度问题历史上称为欧拉_伯努利(Euler_Bernoulli)问题[2],一般情形下,基本方程是一非线性的微分积分方程,求解困难·历史上作者们的研究,大致可分为对于个别简单情形的闭合分析解和基于有限元方法的数值解·文献[2]通过一阶导数代换,对基本方程进行简化,用数值积分或拟线性分析方法处理了梁大挠度的各类问题,结果精度能满足一般的设计要求·文献[3]采用文献[2]的方法,对悬臂梁问题进行了简化处理,然后用单参数摄动法求解,其一级近似解与文献[1]一致,但二级近似解与文献[1]差别较大·本文在文献[3]的基础上,采用双参数摄动法重新处理了这一问题,其二级近似解与文献[1]基本吻合·

　　1　基本方程和边界条件

　　用x表示水平坐标,w(x)表示垂直挠度,于是图1所示悬臂粱大挠度问题的基本方程为[1]

　　式中,EI为抗弯刚度,M(x)为弯矩·图1中,q为竖向荷载,其余几何参数如图所示·不失一般性,设EI和q为常数·M(x)若用x=0处的弯矩M0和剪力Q0来表达,而且假定梁未受水平力作用,则有

　　上述问题是一非线性微分积分方程·(1)式有两个积分常数,(2)式中有两个待定的初参数,由(3)式给出4个边界条件,问题是可以确定的·

　　2　弯矩M(x)和基本方程的简化

　　在弯矩M(x)的表达式(2)中,第3项可以进行如下计算

　　4　m0,Ω0和n0的双参数摄动解

　　参照文献[1],把未知量m0、Ω0和n0按双参数α、β展开,取到二级近似解,有

　　5　结果比较和结论

　　选取文献[1]给出的若干主要系数,将本文结果与文献[1]、[3]结果进行比较·

　　1)桥梁弧长与河宽之比文献[1]:

　　文献[3]的二级近似解与文献[1]比较少了3项,这是由于单参数摄动所引起的误差·本文的二级近似解与文献[1]二级近似解比较,m*0与m0有两项系数差别,Ω*0与Ω0仅有一项差别,明显改进了文献[3]的结果,与文献[1]的结果基本一致·由以上分析比较可知:采用拟线性法结合双参数摄动能较为方便地求得悬臂梁大挠度问题的近似解·由单参数摄动求得的二级近似解,其解的结构并不完整,与文献[1]差别较大;而双参数摄动其二级近似解结构完整,与文献[1]基本吻合·本文在对弯矩的简化过程中,引入了Δ(x) =Δ(x/L)这一假设,但是,由此引起的误差应在设计允许的误差范围内[2]·从求解过程看,本文的双参数摄动直接对确定未知量的非线性代数方程组进行,摄动过程较为简单,这是本文方法的一点意义·