弹性杆系问题研究

　　1 杆系的受力变形及应力、应弯矩阵分析

　　在弹性范围内，杆系中各杆受力将产生各种变形及应力，矩阵分析时分别以结点位移等为基本未知量，具体步骤如下。

　　1. 1受力与变形分析

　　(1)杆系的离散化。首先把杆系拆开，分解成若干个单元，通常一根杆化分为一个单元，有时也可化分为几个单元，如图1所示，平面析架划分为6个单元。

　　(2)单元分析。对于每个单元，例如图1中的m单元，建立单元杆端力列阵

　　与单元杆端位移列阵之间的关系式，即单元刚度方程为

　　式中(K)称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是单元分析的主要目标。建立单元刚度矩阵的方法，一般应用“单位位移法”。这种方法的物理概念简单清楚。根据杆件变形的不同，可以分为拉压杆单元，平面弯曲杆件单元，扭转杆件单元以及组合变形杆件单元等。

　　(3)整体分析。将离散的单元按一定的条件组合成整体，在考虑单元的集合时，应满足变形条件和平衡条件，从而得到整体刚度方程为

　　即杆系结点载荷列阵与杆系结点位移列阵{△}的关系式。式中[K]称为整体刚度矩阵,建立整体刚度矩阵的方法,一般是“刚度集成法”。

　　(4)在考虑支承条件后,即可将护}式适当修改,可解出所有结点位移分量。

　　(5)根据位移按单元刚度方程即可求出单元的杆端内力。

　　1.2应力与应变矩阵分析

　　对于杆系问题重点要研究杆上各点处于平面应力状态的情况,其应力应变的矩阵分析是研究复杂组合变形问题的基础。

　　1.2.1平面应力状态时斜面上的应力矩阵分析

　　己知构件内任意一点的应力分量,确定法线为n的斜面上的应力分量如图2所示。

后得到斜面上的正应力和剪应力分量表达式为

　　1.2.2主应力和主平面方位矩阵

　　已知,确定主应力δ₁主平面方位角a₀,如图3所示。其方程为

　　表示在X—Y坐标系中的己知应力分量(即应力张量矩阵)。

　　为2阶单位矩阵;耘。叫列阵表示主平面的方位。

　　主应力σ_i是矩阵〔σ〕的特征值,主平面方位协。〔n₀〕是矩阵〔σ〕的特征向量.

　　2. 压杆稳定性的矩阵分析

　　在弹性范围内,中心受压的细长杆件在微弯状态下处于平衡,其最小的轴向压力即为杆件的临界力。据此找出压杆一端的杆端位移△A,ΘA和杆端力MA,QA月与另一端的杆端位移△θ,θB和杆端力M,,QB之间的转换关系,则

　　矩阵(T)称为传递矩阵,主要与、l有关,由此可以得杆件的轴向压力为