弹性地基上自由边矩形板承受冲击荷载的动力响应解析解

　　0 引 言

　　飞机着陆撞击荷载和汽车运行时不连续冲击荷载是飞机跑道和公路路面板设计中必须考虑的严重动荷载,因此,弹性地基上自由边矩形板承受冲击荷载的动力响应问题,对于机场跑道和公路刚性路面板的设计具有重要意义。但这两者都是弹性地基上自由边矩形,众所周知,这是较困难的边界条件。文献[1]运用叠加法解决了弹性地基上自由边矩形板问题,但方法繁琐。文献[2,3]运用双参变量的Stockes变换,求得任意边界条件矩形板弯曲问题的一般解析解,以及用CC型级数求得弹性地基上自由边矩形板弯曲问题的解析解。文献[4-6]研究了冲击荷载的动力响应,有关弹性地基上自由边矩形板承受冲击荷载的动力响应问题的解析解未见报道。

　　本文利用文献[2]双参变量的Stockes变换,给出弹性地基上自由边矩形板承受冲击荷载的动力响应问题的cc型级数的解析解,并运用钟万勰[7]提出的对线性定常结构动力系统的精细时程积分法,以弹性地基上自由边矩形板中心承受矩形波冲击荷载为例,给出瞬态时程的数值计算结果。

　　1 基本方程

　　在无量纲坐标ξ、η下,见图1:Winkler弹性地基板受到撞击时在线性粘滞阻尼作用下的动力微分方程:

　　这两式中引用了下列无量纲量

　　其中,q是分布荷载,q0是具有荷载量纲的因子;W是板的挠度;D是弯曲刚度;k是弹性地基的系数;Mx、My、Vx、Vy和R分别是板内弯矩、等效剪力和角点反力;T为冲击荷载作用时间;c为阻尼系数;Q为板材密度,h为板厚度,L为泊松比,(x0,y0)为撞击点。板的边界条件可以相应写出,设n是板边界外法方向,弹性地基自由边矩形板应满足边界条件是:

　　2 一般解析解

　　3 理论算例

　　现以弹性地基上自由边矩形板中点承受冲击荷载的情况为例,讨论矩形脉冲荷载P(t) = P0,0FtFT;P(t) =0,t > T

　　由自由角点条件得到

　　将式(7)-(10)代入方程式(6),经整理得:

　　C0,Cn,D0,Dm都是时间的函数,数值积分时考虑在足够小的时间内可视为常数[7],初始时刻均为零。

　　式(15)可解常微分方程得A00(t*)、A0n(t*)、Am0(t*)、Amn(t*),代入(11).(13),得到无穷联立方程组,截取一定项可得系数Cn,Dm。以(15.2)为例,运用文献[7,8]提出的结构动力方程的精细时程积分法,其简要过程如下(ρ1即ρ):

　　在式(17)中截取一定项数可解得Ci(i =0,2,4,,),再代回式(16)可求出Amn(t*)(m,n =0,2,4,,)。因此,可求得弹性地基上自由边矩形板中心承受冲击荷载的解析解