有面内张力和剪力作用的简支各向异性平行四边形板自由振动、屈曲和弯曲的精确解

　　0　引　言

　　关于平行四边板的论文很多,但都是关于各向同性或正交各向异性的,并且大多是数值解。Gorman[1]在直角坐标系下用单富立叶级数叠加法得到了各向同性平行四边形板的自由振动解。Kennedy[2]在斜坐标系下用重富立叶级数得到了正交各向异性平行四边形板的屈曲解。Mizusawa[3]用Rayleigh-Rizt法得到各种边界条件下各向同性平行四边形板的振动、屈曲和弯曲解答。

　　本文首先推导了斜坐标系下的平行四边形板自由振动、屈曲和弯曲的微分方程。然后采用作者以前在各向异性板中的叠加解法[5, 6],得到了平行四边形板自由振动、屈曲和弯曲的精确解。每个叠加解以重富立叶级数[7]给出。使用加快级数收敛的公式,可达到与单富立叶级数一样的精度。与现有结果的比较验证了本法的精确性。文后给出了多种几何条件下的自由振动、屈曲和弯曲的数值结果。

　　1　基本方程

　　在直角坐标系,各向异性板在面内力作用下的振动控制微分方程为

　　其中Nx, Ny是面内张力,Nxy是纵向剪力,k是温克尔地基系数,ω是自振频率。平行四边形板受图1所示的面内力,Nu, Nv是面内拉力,分别与u,v轴平行,Nuv是纵向剪力,与所在边

　　其中各系数的表达式由于篇幅关系略去。如有需要,请发Email。考虑a×b的四边简支平行四边形板,其解可分解

　　为中心对称和中心反对称两个问题。所谓中心对称就是,w(u,v)=w(a-u, b-v),所谓中心反对称就是w(u,v)=-w(a-u,b-v)。考虑中心对称问题,取w=wss+waa。微分方程为

　　2　富立叶级数解

　　把(7)式和(8)第一式代入边界条件(5a)第二式,比较富立叶级数的系数得

　　由于(7)和(8),位移的有些偏导数不能用逐项微分求得。采用Green[6]的方法,得到这些偏导数如下

　　对于wss,仅对v的偏导数和包含u的一阶或二阶的偏导数可由(6)式逐项微分求得,包含u的三阶或四阶的偏导数可由(9b)式逐项微分求得。对于waa,仅对v的偏导数和包含u一阶偏导数可由(6)式逐项微分求得,对u的二阶或三阶的偏导数可由(9a)式逐项微分求得。把wss,waa的导数代入(4)式,比较富立叶级数的系数得

　　叠加解3为特解,所有位移及其导数在边界无间断,所以能用逐项微分求得所有偏导数。于是得

　　其中的Mui和Mvi分别是把各叠加解代入边界条件(6b)和(6d)得到的富立叶级数的系数。Mui, Mvi是2×2的矩阵。以Mu1为例,由位移waa和弯矩Mu的计算公式得

　　方程(11)是关于an, bn, em和fm的线性齐次方程组。取方程组系数中的Ω2为零,就得到温克尔地基上在面内张力和面内剪力作用下弯曲问题的解。对给定[Nu　Nv　Nuv]和k,使方程组的系数行列式为零的就是自由振动的频率。取方程组的系数中的Ω2为零,令[Nu　Nv　Nuv]=[α　β　γ]N,使方程组的系数行列式为零的N就是临界力。取k为零得到非温克尔地基上屈曲问题的解。在屈曲问题的解里,面内力以受压为正,所以带有Nu, Nv的项改变符号。