单轴转动截锥中厚壳的非线性动力分析

　　目前,国内外许多学者对壳的静力学行为及非线性动力分析进行了研究,但有关在大空间运动下壳的非线性动力特性分析于近年才起步。首先是美国科学家Baner与Kane[1]研究了大空间运动下弹性薄板的动力方程及其响应,首次将适于质点系和刚体运动的Kane方程推广到了变形体分析中。之后,Bontaghon[2]和Boilin[3]等人利用Hamilton原理和有限元法对梁和板在非惯性系下的动力学行为进行了研究。迄今对于非惯性系下壳的动力学行为的研究成果还不多,特别是有关中厚壳在大空间运动下的非线性动力学行为进行的研究还不充分。截锥壳作为一种复杂元件在航空航天、深海开发及潜艇等工程中正得到日益广泛的应用。因此,研究截锥壳的动力学行为特别是非惯性参考系下的动力特性有着重要的现实意义。

　　本文基于文献[4]建立的大空间运动下中厚截锥壳的非线性运动方程,对单轴转动截锥中厚壳的非线性动力响应进行了研究。

　　1 基本方程

　　考虑一弹性壳体在惯性参考系I中运动,取固结在壳体约束边界上的oc为非惯性系N的原点。采用笛卡儿坐标系,令(i=1,2,3)分别为I系和N系的基矢量。取壳体中面的任一单元,以(i=1,2,3)为基矢的正交曲线坐标系在壳的中面上流动,如图1所示。壳体中任一点P在惯性系I中的速度为[5]:

式中:R为P点变形后在惯性系中的位矢;v0为非惯性参考系N中原点的速度;X_为N系的角速度;r*为P点变形后在N系中的位矢;ci为固定于壳体中面上的流动正交曲线坐标系基矢;u~i为P点在此坐标系中的位移分量。

　　对于壳体,由于计算中要用到曲线坐标,因而必须作坐标变换,考虑一非惯性参考系下的中厚截锥壳,其几何参数及坐标如图2所示,其中h为壳厚,L为壳母线长,RC为壳的顶端半径,U为半壳顶角。为使问题简化,取锥壳顶圆圆心为N系原点,N系X₁轴位于锥壳对称轴上,其中X₁、X₂、X₃分别为锥壳绕N系X₁、X₂、X₃轴转动的角速度。由图2可知,截锥任一截面外半径为:

　　由文献[4],且为使问题简化,令ω₁=ω₂=0,得单轴转动截锥中厚壳的非线性控制方程为:

　　式中:u、v、w分别为曲线坐标系下截锥壳的无量纲纵向、切向及法向中面位移;m,n,k,l,r,s,p,q=1,2,3,,;A、B为变形后法线在此坐标系下沿纵向及切向方向的中面转角;81为截面锥壳绕X1轴的角速度;C1~C43为常系数[4];δmp为Kronecker delta函数,且

　　2 求解方法

　　鉴于方程的复杂性,本文利用增量谐波平衡法求解。对于单轴转动截锥壳,其轴向与纵向动力响应较小(计算中发现它们的系数与其他项相比小得多)。为使问题简化,只考虑单轴转动截锥壳的横向动力响应问题。为此,在控制方程(3)中忽略轴向、纵向及转角的惯性量和类似于陀螺力的项,并从(3)式中的第一、二、四、五式中解出,将它们代入(3)式中的第三式,整理简化后,可得关于横向振幅w的常微分方程组