复杂载荷变刚度静不定梁通用力学模型及变形方程

    1　引言

    在进行结构强度设计与计算时,常常涉及到静不定梁及其变形的求解。常用的求解方法需进行判断静不定度、解除多余约束、选定静定结构、画各跨弯矩图和计算各支承位移等工作,若载荷复杂,求解过程冗长繁杂,极易出错。特别是当静不定梁刚度变化时,通过手工准确地进行求解就很困难了。因此,人们寻求能按一定规律便于应用计算机进行运算的程序化计算方法。限差分法[1]、直写法[2]求解思路及方法比较简捷,也易于实现计算机处理,但求解过程仍与梁、载荷的具体情形有关,不能建立通用的程序化求解方程。对于变刚度梁变形的求解,研究者应用亥维塞函数[3]和广义阶梯函数[4]给出了变刚度梁变形的函数方程。本文建立了一种适应于简支梁、悬臂梁和固定梁的复杂载荷下变刚度静不定梁通用力学模型,从该模型出发,推导出梁任意截面的转角和挠度变形的一般方程,该方程易于程序化由计算机处理,为复杂载荷下变刚度静不定梁程序化求解提供基础。

    2　力学模型

    如图1所示,建立两端作用有反力偶矩的静不定梁力学模型和x-y直角坐标,坐标原点为梁左端支座。设梁的抗弯刚度沿x方向分成s段等刚度段,中间变刚度截面s -1个。第k段等刚度段的抗弯刚度为EIk,两端变刚度截面坐标为xk-1、xk。梁的载荷在任一等刚度段内,可简化为多个集中力偶、集中力和均布力。将梁的载荷按等刚度段简化、分类和编号,设第k段内作用有tkm个集中力偶mki,其作用位置坐标为xkmi,(i =1,2,…,tkm);同时作用有tkp个集中力pki,其用位置坐标为xkpi,(i =1,2,…,tkp);tkq个均布力qki,每个均布力两端作用位置的坐标分别为xkqi、xkqi+ lkqi,相应力的作用长度为lkqi,(i =1,2,…,tkq)。静不定梁共有n跨,n+1个支座,支座从左至右依次排列为0,1,2,…,n。第j个支座坐标为xRj,位于第k(j)段梁内,支座反力为Rj;梁两端支座处转角变形为θ0、θn,作用的反力偶为M0、Mn。根据梁端支座的支反力、反力偶、转角变形及挠度变形是否为0,可确定该端支承为固定端、悬臂端或简支端。当梁端转角变形和挠度变形为0,支反力、反力偶未知时,该端支承为固定端;当梁端支反力、反力偶为0,转角变形和挠度变形未知时,该端支承为悬臂端;当梁端挠度变形、反力偶为0,转角变形和支反力未知时,该端支承为简支端;所以,本模型可作为静不定梁求解的一种通用力学模型,适用于简支梁、悬臂梁或固定梁。

    3　变形方程

    3.1　弯矩方程

    定义广义阶梯函数H(x) = (x-a)n,n≥0;当x≤a时,H(x)=0;当x> a时,H(x)=(x-a)n,在本文以下各式中使用此函数。将上述静不定梁第k段等刚度段沿x截面截断,选取左段为研究对象。规定力向上为正,力偶顺时钟为正,则根据力偶平衡关系,得梁第k段任一x截面弯矩方程为: